代数的位相幾何の問題

トーラス $T^2=S^1\times S^1$ の連結な $4$ 重被覆空間 $p:Y\to T^2$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $4$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to T^2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to T^2$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるという。連結な $4$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。

$3$ つの円周を $1$ 点で貼り合わせた空間（$3$ つの円周のブーケ）を $X=S^1\vee S^1\vee S^1$ とする。連結な $3$ 重被覆空間 $p:Y\to X$（$Y$ は連結で、$X$ の各点の逆像がちょうど $3$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to X$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to X$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるという（基点は考えない）。連結な $3$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。

クラインの壺 $K$ を、正方形 $[0,1{]}^2$ において $(s,0)\sim (s,1)$, $(0,u)\sim (1,1-u)$ $(s,u\in [0,1])$ と同一視して得られる空間とする。$K$ の連結な $6$ 重被覆空間 $p:Y\to K$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $6$ 点）のうち、$Y$ がクラインの壺に同相であるものを考える。ここで $2$ つの被覆 $p:Y\to K$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to K$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在することとする。

このような被覆空間の同型類の個数を求めよ。

$\mathbb{R}{P}^2$ を実射影平面、$S^1$ を円周とし、$2$ つの $\mathbb{R}{P}^2$ と $1$ つの $S^1$ をそれぞれ $1$ 点ずつで貼り合わせた一点和
$$X=\mathbb{R}{P}^2\vee \mathbb{R}{P}^2\vee S^1$$
を考える。連結な $3$ 重被覆空間 $p:Y\to X$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $3$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to X$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to X$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるとする（基点は考えない）。同型類の個数を求めよ。

${\Sigma }_2$ を種数 $2$ の向き付け可能な閉曲面とする。${\Sigma }_2$ の連結な $2$ 重被覆空間 $p:Y\to {\Sigma }_2$ の、被覆空間としての同型類の個数を求めよ。ただし、2 つの被覆 $p:Y\to {\Sigma }_2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to {\Sigma }_2$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ をみたすものが存在することとする。