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代数的位相幾何の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学代数的位相幾何

クラインの壺 $K$ を、正方形 $[0, 1]^{2}$ において $(s, 0) \sim (s, 1)$ , $(0, u) \sim (1, 1 - u)$ $(s, u \in [0, 1])$ と同一視して得られる空間とする。 $K$ の連結な $6$ 重被覆空間 $p : Y \to K$ （ $Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $6$ 点）のうち、 $Y$ がクラインの壺に同相であるものを考える。ここで $2$ つの被覆 $p : Y \to K$ , $p^{'} : Y^{'} \to K$ が同型であるとは、同相写像 $h : Y \to Y^{'}$ で $p^{'} \circ h = p$ を満たすものが存在することとする。

このような被覆空間の同型類の個数を求めよ。

この問題で使うもの

被覆空間と部分群の対応（説明と入口の問題）
基本群の表示とアーベル化（説明と入口の問題）
CW 複体のオイラー標数（説明と入口の問題）
閉曲面の分類と多角形の貼り合わせ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（92 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

連結な被覆の同型類は、基本群 $π_{1} (K) = ⟨ a, b ∣ ba b^{- 1} = a^{- 1} ⟩$ の部分群の共役類と対応する。全空間がクラインの壺になる条件を、部分群の言葉で言い換えよう。

ヒント 2

指数有限の部分群 $H$ を $φ (H) = d Z$ （ $b$ の指数への射影）と $H \cap ⟨ a ⟩ = ⟨ a^{e} ⟩$ で分類すると、指数は $d e$ で、さらに $a^{r} b^{d} \in H$ となる $r mod e$ が $H$ を決める。全空間が向き付け不可能なのは $d$ が奇数のとき。

ヒント 3

$d$ が奇数のとき、 $a$ による共役で $r \mapsto r + 2$ 、 $b$ による共役で $r \mapsto - r$ と変わる。 $(d, e) = (1, 6), (3, 2)$ のそれぞれで軌道を数えよう。

答えと解説

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4

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解説を読む

基本群. 正方形の $4$ 頂点は $1$ 点 $q$ に移る。 $a$ を左辺 $u \mapsto [(0, u)]$ 、 $b$ を下辺 $s \mapsto [(s, 0)]$ の表す閉道とすると、正方形の境界を $(0, 0)$ から反時計回りに読んで $b a^{- 1} b^{- 1} a^{- 1}$ となるので
$G = π_{1} (K, q) = ⟨ a, b ∣ ba b^{- 1} = a^{- 1} ⟩ .$
$⟨ a ⟩ ≅ Z$ は正規部分群で、 $G$ の各元は $a^{m} b^{k}$ $(m, k \in Z)$ と一意に表せる。準同型 $φ : G \to Z$ , $a^{m} b^{k} \mapsto k$ を考える。また $b a^{m} = a^{- m} b$ である。

被覆と部分群. $K$ は連結・局所弧状連結・半局所単連結なので、連結な $6$ 重被覆の同型類は、指数 $6$ の部分群の共役類と $1$ 対 $1$ に対応する。連結な有限被覆 $Y$ は閉曲面で $χ (Y) = 6 χ (K) = 0$ なので、トーラスかクラインの壺であり、 $Y$ が向き付け不可能であることと、部分群 $H$ が向きを反転するループ（ $b$ の指数 $k$ が奇数の元）を含むことは同値である。

指数 $n$ の部分群の分類. 指数有限の部分群 $H$ に対し、 $φ (H) = d Z$ , $H \cap ⟨ a ⟩ = ⟨ a^{e} ⟩$ $(d, e \geq 1)$ とおくと指数は $d e$ 。 $H$ のうち $φ$ の値が $d$ である元の集合は ${a^{s} b^{d} ∣ s \equiv r (mod e)}$ の形で、 $r mod e$ が $H$ を決める。逆に任意の $r mod e$ に対して $⟨ a^{e}, a^{r} b^{d} ⟩$ はこの型の部分群になる（ $a^{r} b^{d}$ は $⟨ a^{e} ⟩$ を正規化するので、元は $a^{e j} (a^{r} b^{d})^{k}$ の形）。よって指数 $n$ の部分群は $(d, e, r)$ , $d e = n$ , $r \in Z / e$ で表される。

$H$ が $b$ の指数が奇数の元を含む $⟺$ $d$ が奇数。 $n = 6$ で $d$ が奇数なのは $(d, e) = (1, 6), (3, 2)$ 。

共役. $d$ が奇数のとき
$a (a^{r} b^{d}) a^{- 1} = a^{r + 1} b^{d} a^{- 1} = a^{r + 1} a^{1} b^{d} = a^{r + 2} b^{d}, b (a^{r} b^{d}) b^{- 1} = a^{- r} b^{d}$
（ $d$ が奇数なので $b^{d} a^{- 1} = a b^{d}$ ）であり、 $φ (H)$ , $⟨ a^{e} ⟩$ は共役で変わらない。よって共役類は $r \in Z / e$ の、 $r \mapsto r + 2$ と $r \mapsto - r$ で生成される作用の軌道と対応する。
- $(d, e) = (1, 6)$ : $Z /6$ の軌道は ${0, 2, 4}$ , ${1, 3, 5}$ の $2$ 個。
- $(d, e) = (3, 2)$ : $Z /2$ では $r + 2 = r$ , $- r = r$ なので軌道は ${0}$ , ${1}$ の $2$ 個。

合計 $2 + 2 = 4$ 。

答えは $4$ 。

別解

$G = π_{1} (K) = ⟨ x, y ∣ y x y^{- 1} = x^{- 1} ⟩$ （ $x$ は向きを保つ平行移動、 $y$ は向きを反転するグライド反射）とする。連結被覆の同型類は指数 $6$ の部分群の共役類に対応する。

$H \leq G$ について $H \cap ⟨ x ⟩ = ⟨ x^{m} ⟩$ 、 $H$ の $G / ⟨ x ⟩ ≅ Z$ での像を $n Z$ とすると $H = ⟨ x^{m}, y^{n} x^{k} ⟩$ （ $k \in Z / m$ ）で、指数は $mn$ 。 $k$ は $m$ を法として $H$ から一意に決まる。

$Y$ が閉曲面で $χ (Y) = 6 χ (K) = 0$ なので、 $Y$ はトーラスかクラインの壺。 $Y$ がトーラス（向き付け可能）であることは $H$ が向き付け指標の核 $⟨ x, y^{2} ⟩$ に含まれることと同値で、これは $n$ が偶数であることと同値。よって $Y$ がクラインの壺であるのは $n$ が奇数のとき。 $mn = 6$ より $(n, m) = (1, 6), (3, 2)$ 。

共役の作用: $x$ による共役で $y^{n} x^{k} \mapsto y^{n} x^{k - 2}$ （ $n$ 奇数）、 $y$ による共役で $y^{n} x^{k} \mapsto y^{n} x^{- k}$ 。つまり $k$ は $\pm$ と $+ 2$ の移動で同一視される。
- $(n, m) = (1, 6)$ : $k \in Z /6$ は偶奇で $2$ 類（偶: $0, 2, 4$ 、奇: $1, 3, 5$ ）
- $(n, m) = (3, 2)$ : $k \in Z /2$ で $k = 0, 1$ は区別され $2$ 類

合計 $2 + 2 = 4$ 。

検算: 指数 $6$ の部分群のうち $n = 1, m = 6$ では $H = ⟨ x^{6}, y x^{k} ⟩$ で $H ≅$ クラインの壺（ $y x^{k}$ の共役の作用が $x^{6} \mapsto x^{- 6}$ ）となり整合。

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