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代数的位相幾何の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学代数的位相幾何

$3$ つの円周を $1$ 点で貼り合わせた空間（ $3$ つの円周のブーケ）を $X = S^{1} \lor S^{1} \lor S^{1}$ とする。連結な $3$ 重被覆空間 $p : Y \to X$ （ $Y$ は連結で、 $X$ の各点の逆像がちょうど $3$ 点）を考える。 $2$ つの被覆 $p : Y \to X$ , $p^{'} : Y^{'} \to X$ は、同相写像 $h : Y \to Y^{'}$ で $p^{'} \circ h = p$ を満たすものが存在するとき同型であるという（基点は考えない）。連結な $3$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。

この問題で使うもの

置換表現による被覆の数え上げ（説明と入口の問題）
被覆空間と部分群の対応（説明と入口の問題）
基本群の表示とアーベル化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（95 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

被覆空間の分類定理により、連結な $n$ 重被覆の同型類は、 $π_{1} (X)$ の $n$ 点集合への推移的な作用の共役類（あるいは指数 $n$ の部分群の共役類）と対応する。 $π_{1} (X)$ は何か。

ヒント 2

$π_{1} (X) ≅ F_{3}$ なので、作用は $S_{3}$ の $3$ つの元の組で与えられる。推移的な組を数え、 $S_{3}$ の同時共役による軌道を数える。軌道の大きさは生成される部分群の中心化群で決まる。

ヒント 3

推移的でない組は $22$ 個なので推移的な組は $194$ 個。生成される部分群が $A_{3}$ になるものとそうでないものに分けて、それぞれ軌道の数を求めよう。

答えと解説

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解説を読む

1. 被覆と置換表現の対応. $X$ は弧状連結・局所弧状連結・半局所単連結なので被覆空間の分類定理が使える。 $π_{1} (X) ≅ F_{3} = ⟨ x_{1}, x_{2}, x_{3} ⟩$ （階数 $3$ の自由群）である。連結な $3$ 重被覆の同型類は、 $F_{3}$ の集合 ${1, 2, 3}$ への推移的な作用（モノドロミー）を、 $S_{3}$ の元による同時共役で割ったものと $1$ 対 $1$ に対応する。 $F_{3}$ は自由群なので、作用は $3$ つの置換の組 $(σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}) \in S_{3}^{3}$ を自由に選ぶことで決まる。よって
$# {同型類} = # ({(σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}) \in S_{3}^{3} : ⟨ σ_{1}, σ_{2}, σ_{3} ⟩ が推移的} / S_{3}) .$

2. 推移的な組の個数. 組の総数は $6^{3} = 216$ 。 ${1, 2, 3}$ 上で推移的でない部分群は、ある点 $i$ を固定する部分群 $Stab (i) = {e, (j k)}$ （ ${i, j, k} = {1, 2, 3}$ ）に含まれる。 $Stab (i)^{3}$ は $2^{3} = 8$ 個の組からなり、 $3$ つの $Stab (i)^{3}$ の共通部分は $(e, e, e)$ のみ。よって推移的でない組は $3 \cdot 8 - 2 = 22$ 個で、推移的な組は
$216 - 22 = 194 個 .$

3. 共役による軌道の数. $S_{3}$ の共役作用で、組 $(σ_{i})$ の固定部分群は $⟨ σ_{1}, σ_{2}, σ_{3} ⟩$ の中心化群である。推移的な部分群 $G$ は $A_{3}$ か $S_{3}$ 。

$G = A_{3}$ のとき: 各 $σ_{i} \in A_{3}$ で全部が $e$ ではない組なので $3^{3} - 1 = 26$ 個。 $A_{3}$ の $S_{3}$ における中心化群は $A_{3}$ （位数 $3$ ）なので、各軌道の大きさは $6/3 = 2$ 。軌道は $26/2 = 13$ 個。
$G = S_{3}$ のとき: $194 - 26 = 168$ 個。 $S_{3}$ の中心は自明なので作用は自由で、軌道の大きさは $6$ 。軌道は $168/6 = 28$ 個。

したがって同型類の個数は
$13 + 28 = 41.$

（別解: 指数 $3$ の部分群の個数は推移的な組の数を $(3 - 1)! = 2$ で割って $97$ 個。そのうち正規部分群は全射 $F_{3} \to Z /3$ の核で $(3^{3} - 1) /2 = 13$ 個、残り $84$ 個は $3$ 個ずつの共役類をなすので $28$ 類。合わせて $41$ 。）

別解

$X$ は連結で局所的によい空間なので、基点を考えない連結 3 重被覆の同型類は、 $π_{1} (X) = F_{3}$ （階数 3 の自由群）の指数 3 の部分群の共役類と 1 対 1 に対応する。これは推移的な準同型 $ρ : F_{3} \to S_{3}$ （像が ${1, 2, 3}$ に推移的に作用）の、 $S_{3}$ による共役での軌道と対応する。 $ρ$ は生成元の像の組 $(a, b, c) \in S_{3}^{3}$ で決まる。

推移的な組の数:
(i) 像が $A_{3}$ (位数 3) の部分群: すべて $A_{3}$ に入り自明でない組で $3^{3} - 1 = 26$ 個。像は $A_{3}$ 全体。
(ii) 像が $S_{3}$ : 真部分群は $A_{3}$ と 3 つの位数 2 の部分群 $C$ 。 $A_{3}$ に入る組は $27$ 個、各 $C$ に入る組は $8$ 個で自明な組を除くと $7$ 個ずつ、計 $21$ 個。これらは自明な組以外で重ならない。よって真部分群に入る組は $27 + 21 = 48$ 個で、 $S_{3}$ を生成する組は $216 - 48 = 168$ 個。

$S_{3}$ の共役作用による軌道: 像が $A_{3}$ のとき、組の安定化群は $S_{3}$ での $A_{3}$ の中心化群 $A_{3}$ (位数 3) なので軌道の大きさは $2$ 。像が $S_{3}$ のとき中心化群は自明で軌道の大きさは $6$ 。

同型類の個数は $26/2 + 168/6 = 13 + 28 = 41$ 。

検算: 階数 2 の場合に同じ計算をすると、 $A_{3}$ 像が $8$ 個 (軌道 $4$ )、 $S_{3}$ 像が $36 - 9 - 9 = 18$ 個 (軌道 $3$ ) で $7$ となる。これは $F_{2}$ の指数 3 の部分群 13 個の共役類の数 (正規 4 個 + 非正規 9 個が 3 個ずつの共役類で 3 つ = 7) と一致する。

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