代数的位相幾何の問題

基本群. ${\pi }_1(\mathbb{R}{P}^2)\cong \mathbb{Z}/2$, ${\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ であり、一点和（CW 複体の $0$ 胞体での貼り合わせ）の基本群はファン・カンペンの定理により自由積になるので
$$G={\pi }_1(X)\cong \mathbb{Z}/2\ast \mathbb{Z}/2\ast \mathbb{Z}=⟨a,b,c\mid a^2=b^2=1⟩.$$

分類. $X$ は連結な CW 複体なので、局所弧状連結かつ半局所単連結であり、被覆空間の分類定理が使える。基点を考えない連結 $n$ 重被覆の同型類は、$G$ の指数 $n$ の部分群の共役類と、さらに $G$ の $\{1,\dots ,n\}$ への推移的作用の同型類と一対一に対応する。後者は推移的な準同型 $\rho :G\to S_n$ を $S_n$ の同時共役で割った集合である。以下 $n=3$ とする。

準同型の個数. $\rho$ は $\rho (a),\rho (b),\rho (c)$ で決まり、$\rho (a),\rho (b)$ は $x^2=1$ を満たす元（単位元 $e$ と互換 $3$ 個の計 $4$ 個）、$\rho (c)$ は任意（$6$ 個）なので
$$|\mathrm{Hom}(G,S_3)|=4\cdot 4\cdot 6=96.$$

推移的でないもの. 像 $H=⟨\rho (a),\rho (b),\rho (c)⟩$ が推移的でないのは、ある点を固定するとき、すなわち $H\subset \{e,t\}$（$t$ はある互換）のときである。各 $t$ について $3$ つとも $\{e,t\}$ に入る組は $2^3=8$ 個で、すべて $e$ の組は $3$ つの $t$ で重複するので、推移的でない準同型は
$$3\cdot (8-1)+1=22$$
個。よって推移的な準同型は $96-22=74$ 個。

共役類に分ける. $S_3$ の推移的部分群は $A_3$ と $S_3$ だけである。
- 像が $A_3$ のもの：$\rho (a)=\rho (b)=e$, $\rho (c)$ が $3$ 巡回置換の $2$ 個。$A_3$ の $S_3$ における中心化群は $A_3$（位数 $3$）なので軌道の大きさは $6/3=2$、共役類は $1$ 個。
- 像が $S_3$ のもの：$74-2=72$ 個。$S_3$ の中心は自明なので、$\rho$ の固定部分群（像の中心化群）は自明で、軌道の大きさは $6$。共役類は $72/6=12$ 個。

したがって同型類の個数は $1+12=13$ である。

連結な 3 重被覆の同型類は、$G={\pi }_1(X)\cong \mathbb{Z}/2\ast \mathbb{Z}/2\ast \mathbb{Z}$ の指数 3 の部分群の共役類に対応する。これは、推移的な準同型 $G\to S_3$ を $S_3$ の共役で割った類の個数に等しい。

準同型 $G\to S_3$ は、組 $(a,b,c)$ で $a^2=b^2=1$、$c\in S_3$ となるものに対応する。$a,b$ は単位元か互換（4 通り）、$c$ は任意（6 通り）である。推移的であることは、生成する部分群が $C_3$ または $S_3$ であることと同値である。

(i) 生成する部分群が $C_3$ の場合: 位数 2 以下の元は $A_3$ では単位元のみなので、$a=b=1$ で $c$ は 3-サイクルである。$c$ は 2 通りで、$S_3$ の共役により互いに移りあうので、類は 1 個。

(ii) 生成する部分群が $S_3$ の場合: 全組は $4\cdot 4\cdot 6=96$ 個。真部分群に含まれる組を数える。
- 位数 2 の部分群 $\{1,t\}$ に含まれる組は $2^3=8$ 個。これが 3 つあり、共通部分は自明な組 $(1,1,1)$ のみ。和集合は $3\cdot 8-3+1=22$ 個。
- $C_3$ に含まれる組は $3$ 個。位数 2 の部分群の和集合との共通部分は $(1,1,1)$ のみ。
- よって生成しない組は $22+3-1=24$ 個、$S_3$ を生成する組は $96-24=72$ 個。
- $S_3$ は中心が自明なので、共役作用は自由であり、類は $72/6=12$ 個。

合計は $1+12=13$ 個。