単体複体のホモロジーとベッチ数

単体複体の鎖群 $C_{k}$ と境界写像 $\partial_{k}$ を行列で書き、 $\partial_{k} \circ \partial_{k + 1} = 0$ を確かめられる。有理係数のベッチ数を $b_{k} = dim C_{k} - rank \partial_{k} - rank \partial_{k + 1}$ で求められる（例: 三角形の境界（頂点 3・辺 3）では $b_{0} = b_{1} = 1$ 、四面体の表面では $b_{0} = b_{2} = 1, b_{1} = 0$ ）

前提

核と像と次元定理（大学数学線形代数）

この技能までの道筋（37 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）

説明

頂点・辺・三角形・四面体…（単体）を貼り合わせた図形（単体複体）について、「つながった部分の個数」「埋まっていない穴の個数」「中が空洞の殻の個数」などを、行列の階数の計算だけで数えられるようになります。 $k$ 次元の単体を基底とするベクトル空間（鎖群） $C_{k}$ と、単体をその境界に送る線形写像 $\partial_{k}$ を行列で書き、 $k$ 次のベッチ数 $b_{k} = dim C_{k} - rank \partial_{k} - rank \partial_{k + 1}$ を求めます。図形の形を数で区別したいときの基本の道具です。

なぜそうしてよいのか

単体複体とは、単体の集まりで、含まれる単体の面（頂点の一部でできる単体）もすべて含むものです。頂点に番号を付け、 $k$ 単体を頂点の番号が小さい順に $[v_{0}, \dots, v_{k}]$ と書いて向きを決めます。 $C_{k}$ は $k$ 単体を基底とする $Q$ 上のベクトル空間で、境界写像を
$\partial_{k} [v_{0}, \dots, v_{k}] = i = 0 \sum k (- 1)^{i} [v_{0}, \dots, v_{i}, \dots, v_{k}]$
（ $v_{i}$ は $v_{i}$ を取り除く）で定めます。例えば $\partial_{1} [a, b] = [b] - [a]$ 、 $\partial_{2} [a, b, c] = [b, c] - [a, c] + [a, b]$ です。 $\partial_{0} = 0$ 、最高次元より上の $\partial$ も $0$ とします。 $\partial_{k} \partial_{k + 1}$ を計算すると、2 つの頂点 $v_{i}, v_{j} (i < j)$ を除いた面が「先に $v_{j}$ 、次に $v_{i}$ 」と「先に $v_{i}$ 、次に $v_{j}$ 」の 2 通りで現れ、後者では $v_{j}$ の位置が 1 つ前にずれるので符号が逆になり、打ち消し合います。よって $\partial_{k} \circ \partial_{k + 1} = 0$ 、つまり $Im \partial_{k + 1} \subset ker \partial_{k}$ です。

$ker \partial_{k}$ の元（サイクル）は「境界をもたない」閉じた形、例えば $[a, b] + [b, c] - [a, c]$ のような閉じた折れ線です。 $Im \partial_{k + 1}$ の元は「1 つ上の次元の単体で埋まっている」閉じた形です。埋まっていないサイクルこそが穴なので、穴の個数を $b_{k} = dim ker \partial_{k} - dim Im \partial_{k + 1}$ （商空間 $H_{k} = ker \partial_{k} / Im \partial_{k + 1}$ の次元、 $H_{k}$ を $k$ 次のホモロジー群という）で測ります。 $b_{0}$ は連結成分の個数、 $b_{1}$ は埋まっていない輪の個数、 $b_{2}$ は空洞の個数を表します。

次元定理から $dim ker \partial_{k} = dim C_{k} - rank \partial_{k}$ 、また $dim Im \partial_{k + 1} = rank \partial_{k + 1}$ なので、 $b_{k} = dim C_{k} - rank \partial_{k} - rank \partial_{k + 1}$ となり、行列の階数だけで計算できます。

手順

頂点に番号を付け、各 $k$ について $k$ 単体を番号の小さい順の頂点の列で書き並べ、 $dim C_{k}$ （ $k$ 単体の個数）を数える
$\partial_{k} [v_{0}, \dots, v_{k}] = \sum_{i} (- 1)^{i} [\dots v_{i} \dots]$ で各 $k$ 単体の像を求め、列を $k$ 単体・行を $(k - 1)$ 単体とする行列を作る
検算として行列の積 $\partial_{k} \partial_{k + 1}$ が零行列になることを確かめる
掃き出し法で各 $rank \partial_{k}$ を求める（ $\partial_{0} = 0$ 、最高次元 $+ 1$ の $\partial$ も $0$ ）
$b_{k} = dim C_{k} - rank \partial_{k} - rank \partial_{k + 1}$ を計算する

例題

頂点 $1, 2, 3, 4$ 、辺 $[1, 2], [1, 3], [2, 3], [2, 4], [3, 4]$ 、三角形 $[1, 2, 3]$ からなる単体複体（三角形 $123$ は中まで埋まり、三角形 $234$ は辺だけ）の有理係数の 1 次ベッチ数 $b_{1}$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $dim C_{0} = 4$ 、 $dim C_{1} = 5$ 、 $dim C_{2} = 1$ 。

【手順 2】 $\partial_{1} [i, j] = [j] - [i]$ より、列を $[1, 2], [1, 3], [2, 3], [2, 4], [3, 4]$ 、行を $[1], [2], [3], [4]$ として
$\partial_{1} = - 1 100 - 1 010 0 - 1 10 0 - 1 01 00 - 1 1 .$
$\partial_{2} [1, 2, 3] = [2, 3] - [1, 3] + [1, 2]$ より、 $\partial_{2} =^{t} (1, - 1, 1, 0, 0)$ 。

【手順 3】 $\partial_{1} \partial_{2}$ は $\partial_{1}$ の第 1 列 $-$ 第 2 列 $+$ 第 3 列 $=^{t} (- 1 + 1 + 0, 1 - 0 - 1, 0 - 1 + 1, 0) =^{t} (0, 0, 0, 0)$ で、確かに $0$ です。

【手順 4】 $\partial_{1}$ の 4 行の和は $0$ なので $rank \partial_{1} \leq 3$ 。第 1・2・4 列 $^{t} (- 1, 1, 0, 0),^{t} (- 1, 0, 1, 0),^{t} (0, - 1, 0, 1)$ は、第 4 成分が 0 でないのが第 4 列だけ、第 3 成分が 0 でないのが（残りでは）第 2 列だけであることから一次独立で、 $rank \partial_{1} = 3$ 。 $\partial_{2}$ は零でない 1 列なので $rank \partial_{2} = 1$ 。

【手順 5】 $b_{1} = dim C_{1} - rank \partial_{1} - rank \partial_{2} = 5 - 3 - 1 = 1$ 。（なお $b_{0} = 4 - 0 - 3 = 1$ 、 $b_{2} = 1 - 1 - 0 = 0$ で、埋まっていない三角形 $234$ の輪が 1 つの穴になっています。）

答え: $1$

よくある誤り

$\partial_{2} [a, b, c]$ の符号を $[b, c] + [a, c] + [a, b]$ のように全部 $+$ にしてしまう誤り。これでは $\partial_{1} \partial_{2} [a, b, c] = 2 [c] - 2 [a] \neq = 0$ となり、ランクも狂う。正しくは $\partial_{2} [a, b, c] = [b, c] - [a, c] + [a, b]$ で、 $\partial_{1} \partial_{2} = 0$ を必ず検算する
$b_{k}$ を $dim ker \partial_{k}$ だけで求め、1 つ上の単体で埋まった分を引き忘れる誤り。例えば中まで埋まった三角形（ $C_{2}$ が 1 次元）で $b_{1} = 3 - 2 = 1$ とする。正しくは $rank \partial_{2} = 1$ も引いて $b_{1} = 3 - 2 - 1 = 0$
$b_{0}$ の計算で $\partial_{0}$ を考えず $rank \partial_{0}$ に意味のない値を入れたり、 $rank \partial_{1}$ を引き忘れて $b_{0} = dim C_{0}$ とする誤り。正しくは $\partial_{0} = 0$ なので $b_{0} = dim C_{0} - rank \partial_{1}$ （三角形の境界なら $3 - 2 = 1$ ）
面をすべて含まない集まりで計算してしまう誤り。例えば三角形 $[1, 2, 3]$ を入れながら辺 $[1, 3]$ を入れないと $\partial_{2}$ の像が $C_{1}$ に入らない。正しくは、入れた単体のすべての面（辺・頂点）を複体に含めてから $C_{k}$ を数える

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
頂点 $v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ をもつ単体複体 $X$ を、次の単体（とそのすべての面）からなるものとする。
- 1 単体（辺）: $[v_{1}, v_{2}], [v_{2}, v_{3}], [v_{3}, v_{4}], [v_{1}, v_{4}], [v_{1}, v_{3}]$
- 2 単体: $[v_{1}, v_{2}, v_{3}]$ のみ
つまり $X$ は、正方形 $v_{1} v_{2} v_{3} v_{4}$ の周に対角線 $v_{1} v_{3}$ を加え、三角形 $v_{1} v_{2} v_{3}$ だけを中まで埋めたものである。有理数係数のベッチ数 $b_{k} = dim_{Q} H_{k} (X; Q)$ について、組 $(b_{0}, b_{1}, b_{2})$ をこの順に求めよ。

この技能の次に学べること

CW 複体の胞体ホモロジー（大学院数学代数的位相幾何）