代数的位相幾何の問題

ステップ 1: 鎖群. 有理係数の鎖群の次元は、単体の個数から
$$\dim C_0=4,\dim C_1=5,\dim C_2=1,C_k=0(k\ge 3).$$

ステップ 2: 境界写像を行列で書く. 向きは頂点の番号の小さい順にとり、$\partial [v_i,v_j]=v_j-v_i$, $\partial [v_i,v_j,v_k]=[v_j,v_k]-[v_i,v_k]+[v_i,v_j]$ とする。辺を $e_1=[v_1,v_2]$, $e_2=[v_2,v_3]$, $e_3=[v_3,v_4]$, $e_4=[v_1,v_4]$, $e_5=[v_1,v_3]$ と名付けると、${\partial }_1$ の行列（行が $v_1,\dots ,v_4$、列が $e_1,\dots ,e_5$）は
$${\partial }_1=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 0& 0& -1& -1\\ 1& -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1& 0\end{array}\right).$$
また ${\partial }_2[v_1,v_2,v_3]=e_2-e_5+e_1$ なので
$${\partial }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right).$$
確認: ${\partial }_1{\partial }_2={\partial }_1(e_1)+{\partial }_1(e_2)-{\partial }_1(e_5)=(v_2-v_1)+(v_3-v_2)-(v_3-v_1)=0$。

ステップ 3: 階数.
- ${\partial }_1$: 各列は $v_j-v_i$ の形で成分の和が $0$ なので、4 つの行ベクトルの和は零ベクトルになり、階数は $3$ 以下である。一方、列 $e_1,e_2,e_3$ から行 $v_2,v_3,v_4$ を取り出した $3\times 3$ 小行列は
$$\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
で、対角成分がすべて $1$ の上三角行列なので行列式は $1\ne 0$ である。よって列 $e_1,e_2,e_3$ は一次独立で、$\mathrm{rank}{\partial }_1=3$。
- ${\partial }_2$: $0$ でない列ベクトル 1 本なので $\mathrm{rank}{\partial }_2=1$。
- ${\partial }_0=0$, ${\partial }_3=0$ なので階数は $0$。

ステップ 4: ベッチ数. $b_k=\dim C_k-\mathrm{rank}{\partial }_k-\mathrm{rank}{\partial }_{k+1}$ より
$$b_0=4-0-3=1,b_1=5-3-1=1,b_2=1-1-0=0.$$

（直観的には、$X$ は連結で、埋められていない三角形 $v_1{v}_3{v}_4$ の周が 1 つの「穴」になっている。）

したがって $(b_0,b_1,b_2)=(1,1,0)$ である。

頂点 4、辺 5、2 単体 1 なので鎖群の次元は $\dim C_0=4,\dim C_1=5,\dim C_2=1$。\n\n$b_0$: グラフは連結（$v_1$-$v_2$-$v_3$-$v_4$-$v_1$ がつながる）ので $b_0=1$。\n\n$b_2$: $\partial [v_1,v_2,v_3]=[v_2,v_3]-[v_1,v_3]+[v_1,v_2]\ne 0$ なので ${\partial }_2$ は単射、$\ker {\partial }_2=0$。よって $b_2=0$。\n\n$b_1$: $\mathrm{rank}{\partial }_1=4-b_0=3$ なので $\dim \ker {\partial }_1=5-3=2$。$\mathrm{rank}{\partial }_2=1$。したがって $b_1=2-1=1$。\n\n検算（幾何）: 三角形 $v_1{v}_2{v}_3$ は埋められていて可縮。これに頂点 $v_4$ と、$v_3$、$v_1$ へ向かう 2 辺を付けると円周 1 つ分のループ（$v_1\to v_3\to v_4\to v_1$）ができ、$X\simeq S^1$。$b=(1,1,0)$。オイラー標数: $4-5+1=0=1-1+0$ で一致。