代数的位相幾何の問題

トーラス $T^2$ に、$0$ 胞体 $v$、$1$ 胞体 $a,b$、$2$ 胞体 $e$（語 $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ に沿って貼られたもの）からなる標準的な CW 構造を与える。$1$ 胞体 $a,b$ は $v$ を基点とする閉道とみなす。$T^2$ にさらに $2$ つの $2$ 胞体 $D_1,D_2$ を、境界をそれぞれ $1$ 骨格の閉道
$$a^2{b}^4,a^3{b}^{-1}$$
に沿って貼り付けて得られる CW 複体を $X$ とする。

整数係数ホモロジー群 $H_1(X;\mathbb{Z})$ は有限群である。$H_1(X;\mathbb{Z})$ の位数と、$H_2(X;\mathbb{Z})$ の階数を、この順に組で求めよ。

$3$ 次元トーラスを $T^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ とし、$x\in {\mathbb{R}}^3$ の像を $[x]$ と書く。$S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ から $T^3$ への $2$ つの閉曲線
$${\gamma }_1(t)=[(2t,4t,6t)],{\gamma }_2(t)=[(4t,2t,0)](t\in \mathbb{R}/\mathbb{Z})$$
を考える。$2$ 次元円板 $D^2$ を $2$ 枚用意し、その境界 $\partial D^2\cong S^1$ をそれぞれ ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ によって $T^3$ に貼り付けて得られる空間を $X$ とする。$X$ の整数係数ホモロジー群について、$1$ 次ベッチ数 $b_1(X)$、$2$ 次ベッチ数 $b_2(X)$、および $H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分の位数を、この順に組で求めよ。

$4$ 次元立方体 $I^4=[0,1{]}^4\subset {\mathbb{R}}^4$ に、各面（座標のいくつかを $0$ または $1$ に固定して得られる部分集合）を胞体とする標準的な CW 構造を入れる。このとき $k$ 胞体は $I^4$ の $k$ 次元の面である（$0\le k\le 4$）。

$I^4$ の $2$ 次元骨格（次元が $2$ 以下の面すべての和集合）を $X$ とする。整数係数ホモロジー群 $H_2(X;\mathbb{Z})$ の階数（第 $2$ ベッチ数）を求めよ。

$0$ 胞体 $x$ を 1 個、$1$ 胞体 $a,b$ を 2 個（どちらも両端を $x$ に接着したループ）もつ $1$ 次元 CW 複体 $S^1\vee S^1$ に、$2$ 胞体 $e$ を 1 個、語
$$a^4{b}^{-1}{a}^2{b}^7$$
に沿って接着して得られる CW 複体を $X$ とする。整数係数ホモロジーについて、$H_1(X;\mathbb{Z})$ の階数を $b_1$、$H_2(X;\mathbb{Z})$ の階数を $b_2$、$H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分群の位数を $t$ とするとき、組 $(b_1,b_2,t)$ をこの順に求めよ。

種数 $2$ の向き付け可能閉曲面 ${\Sigma }_2$ に、$0$ 胞体 $v$、$1$ 胞体 $a_1,b_1,a_2,b_2$（いずれも $v$ を基点とするループ）、語 $a_1{b}_1{a}_1^{-1}{b}_1^{-1}{a}_2{b}_2{a}_2^{-1}{b}_2^{-1}$ に沿って貼られた $2$ 胞体 $1$ 個からなる標準的な CW 構造を入れる。${\Sigma }_2$ に、さらに $4$ 個の $2$ 胞体 $D_1,D_2,D_3,D_4$ を、それぞれの境界の円周を $1$ 骨格の語
$$D_1:a_1{b}_2^2,D_2:b_1{a}_2,D_3:a_2^3{b}_1^{-1},D_4:b_2{a}_1^{-1}{b}_2$$
に沿って貼り付けて得られる空間を $X$ とする（指数 $-1$ は逆向きにたどることを表す）。基本群 ${\pi }_1(X,v)$ のアーベル化 ${\pi }_1(X,v)/[{\pi }_1(X,v),{\pi }_1(X,v)]$ は有限群である。その位数を求めよ。