代数的位相幾何の問題

種数 $2$ の向き付け可能閉曲面 ${\Sigma }_2$ に、$0$ 胞体 $v$、$1$ 胞体 $a_1,b_1,a_2,b_2$（いずれも $v$ を基点とするループ）、語 $a_1{b}_1{a}_1^{-1}{b}_1^{-1}{a}_2{b}_2{a}_2^{-1}{b}_2^{-1}$ に沿って貼られた $2$ 胞体 $1$ 個からなる標準的な CW 構造を入れる。${\Sigma }_2$ に、さらに $4$ 個の $2$ 胞体 $D_1,D_2,D_3,D_4$ を、それぞれの境界の円周を $1$ 骨格の語
$$D_1:a_1{b}_2^2,D_2:b_1{a}_2,D_3:a_2^3{b}_1^{-1},D_4:b_2{a}_1^{-1}{b}_2$$
に沿って貼り付けて得られる空間を $X$ とする（指数 $-1$ は逆向きにたどることを表す）。基本群 ${\pi }_1(X,v)$ のアーベル化 ${\pi }_1(X,v)/[{\pi }_1(X,v),{\pi }_1(X,v)]$ は有限群である。その位数を求めよ。

トーラス $T^2$ に、$1$ 頂点 $v$・$2$ 個の $1$ 胞体 $a,b$・$1$ 個の $2$ 胞体 $e$（接着写像は $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$）からなる標準的な CW 構造を入れる。$1$ 骨格 $a\cup b$ の中で、$v$ から $a$ を $3$ 回たどり、続けて $b$ を $6$ 回たどる閉道 $\gamma :S^1\to T^2$（${\pi }_1(T^2,v)$ で $a^3{b}^6$ を表す）を接着写像として、$T^2$ に $2$ 胞体 $D$ を $1$ つ接着した CW 複体を $X$ とする。

$X$ の整数係数ホモロジーについて、$1$ 次ベッチ数 $b_1$、$2$ 次ベッチ数 $b_2$、$H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分群の位数 $t$ を、この順に組 $(b_1,b_2,t)$ で答えよ。

CW 複体 $X$ を次のように構成する。

- $0$ 胞体は $1$ 個の点 $v$ のみ
- $1$ 胞体は $a,b,c$ の $3$ 個（いずれも両端が $v$ に貼られ、向きが定められたループ）
- $2$ 胞体は $e_1,e_2$ の $2$ 個で、境界の円周をそれぞれ $1$ 骨格の語
$$e_1:aba{b}^{-1}{c}^2,e_2:a^{-1}c{b}^{3}c$$
に沿って貼り付ける（指数 $-1$ は逆向きにたどることを表す）

整数係数ホモロジー群 $H_1(X;\mathbb{Z})$ を有限生成アーベル群として $H_1(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus T$（$T$ は有限アーベル群）と表すとき、階数 $r$ と $T$ の位数 $|T|$ の組 $(r,|T|)$ をこの順に求めよ。

$3$ 次元トーラスを $T^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ とし、$x\in {\mathbb{R}}^3$ の像を $[x]$ と書く。$S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ から $T^3$ への $2$ つの閉曲線
$${\gamma }_1(t)=[(2t,4t,6t)],{\gamma }_2(t)=[(4t,2t,0)](t\in \mathbb{R}/\mathbb{Z})$$
を考える。$2$ 次元円板 $D^2$ を $2$ 枚用意し、その境界 $\partial D^2\cong S^1$ をそれぞれ ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ によって $T^3$ に貼り付けて得られる空間を $X$ とする。$X$ の整数係数ホモロジー群について、$1$ 次ベッチ数 $b_1(X)$、$2$ 次ベッチ数 $b_2(X)$、および $H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分の位数を、この順に組で求めよ。

0 胞体 $x_0$ を 1 つ、1 胞体 $a,b$ を 2 つもち（それぞれ $x_0$ を基点とするループとして向きを定める）、2 胞体 $e_1,e_2$ を、境界がそれぞれループ
$$w_1=a^{3}b{a}^{-1}b,w_2=a{b}^{-2}{a}^2$$
に沿うように貼り付けて得られる CW 複体を $X$ とする（3 胞体以上はない）。$X$ の整係数ホモロジーについて、$H_k(X;\mathbb{Z})=0$（$k\ge 2$）であり、$H_1(X;\mathbb{Z})$ は位数 $10$ の巡回群であること（特にベッチ数は $b_1(X)=b_2(X)=0$ であること）を証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい: $X$ のホモロジーは胞体鎖複体 $C_{\ast }(X)$ のホモロジーと同型であり、1 骨格が 1 点で束ねた円周 $a,b$ である CW 複体で 2 胞体 $e$ がループ $w$ に沿って貼られているとき、胞体境界写像は $d_2(e)={\epsilon }_a(w)a+{\epsilon }_b(w)b$ で与えられる。ここで ${\epsilon }_a(w)$、${\epsilon }_b(w)$ は語 $w$ における $a$、$b$ の指数の総和である。