この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

代数的位相幾何の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル証明問題大学院数学代数的位相幾何

0 胞体 $x_{0}$ を 1 つ、1 胞体 $a, b$ を 2 つもち（それぞれ $x_{0}$ を基点とするループとして向きを定める）、2 胞体 $e_{1}, e_{2}$ を、境界がそれぞれループ
$w_{1} = a^{3} b a^{- 1} b, w_{2} = a b^{- 2} a^{2}$
に沿うように貼り付けて得られる CW 複体を $X$ とする（3 胞体以上はない）。 $X$ の整係数ホモロジーについて、 $H_{k} (X; Z) = 0$ （ $k \geq 2$ ）であり、 $H_{1} (X; Z)$ は位数 $10$ の巡回群であること（特にベッチ数は $b_{1} (X) = b_{2} (X) = 0$ であること）を証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい: $X$ のホモロジーは胞体鎖複体 $C_{*} (X)$ のホモロジーと同型であり、1 骨格が 1 点で束ねた円周 $a, b$ である CW 複体で 2 胞体 $e$ がループ $w$ に沿って貼られているとき、胞体境界写像は $d_{2} (e) = ε_{a} (w) a + ε_{b} (w) b$ で与えられる。ここで $ε_{a} (w)$ 、 $ε_{b} (w)$ は語 $w$ における $a$ 、 $b$ の指数の総和である。

この問題で使うもの

CW 複体の胞体ホモロジー（説明と入口の問題）
整数行列の単因子（スミス標準形）（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（88 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

胞体鎖複体を書き下し、 $d_{1}$ と $d_{2}$ を具体的に求めてから $ker$ と $im$ を計算する。

ヒント 2

0 胞体が 1 つなので $d_{1} = 0$ 。 $d_{2}$ は語 $w_{1}, w_{2}$ の各文字の指数の総和から $d_{2} (e_{1}) = 2 a + 2 b$ 、 $d_{2} (e_{2}) = 3 a - 2 b$ となる。

ヒント 3

$ker d_{2}$ は連立方程式を解けば求まる。 $H_{1} = Z^{2} / ⟨(2, 2), (3, - 2)⟩$ については、生成元の整数係数の組み合わせで $(1, - 4)$ と $(0, 10)$ を作ってみる。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

胞体鎖複体 $C_{2} \to C_{1} \to C_{0}$ を書き、1 胞体がループであることから $d_{1} = 0$ を導いている（2 点）
語 $w_{1}, w_{2}$ の指数和を正しく数え、 $d_{2} (e_{1}) = 2 a + 2 b$ 、 $d_{2} (e_{2}) = 3 a - 2 b$ を求めている（2 点）
$d_{2}$ が単射であることを連立方程式（または行列式 $\neq = 0$ ）から示し、 $H_{2} = 0$ 、 $k \geq 3$ で $H_{k} = 0$ を述べている（2 点）
$H_{1} = Z^{2} / im d_{2}$ が $Z /10$ と同型であることを、全射準同型の核が $im d_{2}$ に一致することの両方向の包含、またはスミス標準形などで確かめている（3 点）
$H_{1}$ が有限なので $b_{1} = 0$ 、 $H_{2} = 0$ なので $b_{2} = 0$ であることを含めて結論をまとめている（1 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

ステップ 1（胞体鎖複体）. $X$ の胞体は 0 胞体 $x_{0}$ 、1 胞体 $a, b$ 、2 胞体 $e_{1}, e_{2}$ だけなので、胞体鎖複体は
$0 \to C_{2} = Z e_{1} \oplus Z e_{2} d_{2} C_{1} = Z a \oplus Z b d_{1} C_{0} = Z x_{0} \to 0$
であり、 $k \geq 3$ では $C_{k} = 0$ である。

- $d_{1}$ : 1 胞体 $a, b$ はどちらも始点と終点が $x_{0}$ のループなので、 $d_{1} (a) = x_{0} - x_{0} = 0$ 、 $d_{1} (b) = 0$ 。よって $d_{1} = 0$ 。
- $d_{2}$ : 指数の総和を数えると、 $w_{1} = a^{3} b a^{- 1} b$ では $ε_{a} (w_{1}) = 3 - 1 = 2$ 、 $ε_{b} (w_{1}) = 1 + 1 = 2$ 。 $w_{2} = a b^{- 2} a^{2}$ では $ε_{a} (w_{2}) = 1 + 2 = 3$ 、 $ε_{b} (w_{2}) = - 2$ 。したがって
$d_{2} (e_{1}) = 2 a + 2 b, d_{2} (e_{2}) = 3 a - 2 b .$

ステップ 2（ $H_{k} = 0$ 、 $k \geq 2$ ）. $k \geq 3$ では $C_{k} = 0$ なので $H_{k} = 0$ 。 $H_{2} = ker d_{2} / im d_{3} = ker d_{2}$ （ $C_{3} = 0$ ）である。 $d_{2} (x e_{1} + y e_{2}) = 0$ とすると
$(2 x + 3 y) a + (2 x - 2 y) b = 0 ⟺ 2 x + 3 y = 0, 2 x - 2 y = 0.$
第 2 式から $x = y$ 、これを第 1 式に代入して $5 y = 0$ 、よって $x = y = 0$ 。したがって $ker d_{2} = 0$ 、 $H_{2} (X; Z) = 0$ であり、 $b_{2} (X) = 0$ 。

ステップ 3（ $H_{1}$ の計算）. $d_{1} = 0$ より $ker d_{1} = C_{1}$ なので
$H_{1} (X; Z) = C_{1} / im d_{2} = Z^{2} / ⟨ u, v ⟩, u = (2, 2), v = (3, - 2)$
（ $a, b$ を基底として成分で書く）。準同型
$φ : Z^{2} \to Z /10, φ (x, y) = 4 x + y mod 10$
を考える。

- $φ$ は全射: $φ (0, 1) = 1$ が $Z /10$ を生成する。
- $im d_{2} \subset ker φ$ : $φ (u) = 8 + 2 = 10 \equiv 0$ 、 $φ (v) = 12 - 2 = 10 \equiv 0$ 。
- $ker φ \subset im d_{2}$ : まず $v - u = (1, - 4)$ 、 $3 u - 2 v = (6 - 6, 6 + 4) = (0, 10)$ はどちらも $im d_{2}$ の元である。 $(x, y) \in ker φ$ とすると $4 x + y = 10 m$ （ $m \in Z$ ）と書けて、
$(x, y) = x (1, - 4) + (0, 4 x + y) = x (1, - 4) + m (0, 10) \in im d_{2} .$

よって $ker φ = im d_{2}$ であり、準同型定理から
$H_{1} (X; Z) = Z^{2} / im d_{2} ≅ Z /10.$
これは位数 10 の巡回群（ $a$ の像が $4$ 、 $b$ の像が $1$ に対応し、 $b$ の類が生成元）であり、有限群なので階数 $b_{1} (X) = 0$ である。

（検算: $d_{2}$ の行列 $(22 3 - 2)$ の行列式は $- 4 - 6 = - 10$ で、その絶対値は $H_{1}$ の位数 $10$ に一致し、 $H_{2} = 0$ とも整合する。また $χ (X) = 1 - 2 + 2 = 1 = rank H_{0} - b_{1} + b_{2} = 1 - 0 + 0$ も成り立つ。）

結論. $H_{k} (X; Z) = 0$ （ $k \geq 2$ ）であり、 $H_{1} (X; Z) ≅ Z /10$ は位数 $10$ の巡回群である。特に $b_{1} (X) = b_{2} (X) = 0$ である。 $■$

代数的位相幾何の問題

この問題で使うもの

ヒント

採点の観点と模範解答

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題