整数行列の単因子（スミス標準形）

整数行列に行・列の基本変形（整数倍の加減・入れかえ・ $- 1$ 倍）を施してスミス標準形 $diag (d_{1}, \dots, d_{r}, 0, \dots)$ （ $d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots$ ）にし、または $k$ 次小行列式の最大公約数 $Δ_{k}$ から $d_{k} = Δ_{k} / Δ_{k - 1}$ として、生成元と関係式で与えた群 $Z^{n} / H$ を $Z / d_{1} \oplus \dots \oplus Z^{n - r}$ に分解できる（例: $Z^{2} / ⟨(2, 4), (6, 8)⟩ ≅ Z /2 \oplus Z /4$ ）

前提

有限アーベル群の分類（単因子と素因子型）（大学院数学群論）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列式（大学数学線形代数）
ユークリッドの互除法（数学A 整数の性質）

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算数中学高校大学大学院

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最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
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行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列式（大学数学線形代数）
ユークリッドの互除法（数学A 整数の性質）

説明

整数を成分とする $m \times n$ 行列 $A$ に、整数の範囲で元に戻せる行・列の基本変形をくり返すと、対角に $d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots ∣ d_{r}$ （ $d_{i} > 0$ ）が並び、残りが $0$ の形（スミス標準形）にできます。この $d_{1}, \dots, d_{r}$ を $A$ の単因子といいます。 $A$ の行ベクトルで生成される部分群 $H \subset Z^{n}$ について、 $Z^{n} / H ≅ Z / d_{1} \oplus \dots \oplus Z / d_{r} \oplus Z^{n - r}$ がわかるので、生成元と関係式で与えられたアーベル群の構造（位数・ねじれ部分・階数など）を求めるのに使います。

なぜそうしてよいのか

$Z^{n} / H$ の $H$ は「関係式」の集まりで、 $A$ の各行が 1 つの関係式です。行の基本変形（ある行の整数倍を別の行に加える、行の入れかえ、行の $- 1$ 倍）は、 $H$ の生成元を取りかえるだけで $H$ 自体は変えません。どの操作も逆の操作が同じ種類の整数の操作なので、新しい行たちからもとの行たちが整数係数で作り直せるからです。列の基本変形は $Z^{n}$ の基底 $e_{1}, \dots, e_{n}$ の取りかえに当たります。たとえば「第 $j$ 列に第 $i$ 列の $c$ 倍を加える」（ $i \neq = j$ , $c \in Z$ ）操作は、基底を $e_{i}^{'} = e_{i} - c e_{j}$ 、 $e_{j}^{'} = e_{j}$ （ほかの $e_{l}$ は不変）と取りかえることに当たります。実際、各行ベクトルは $a_{i} e_{i} + a_{j} e_{j} = a_{i} e_{i}^{'} + (a_{j} + c a_{i}) e_{j}^{'}$ と書きかわり、新しい基底での成分は第 $j$ 成分だけが $a_{j} + c a_{i}$ に変わります。これがちょうど列の操作の結果です。逆の取りかえ $e_{i} = e_{i}^{'} + c e_{j}^{'}$ , $e_{j} = e_{j}^{'}$ も整数係数なので $e_{1}^{'}, \dots, e_{n}^{'}$ も $Z^{n}$ の基底で、同じ $H$ を新しい座標で書き直しただけになり、商の群は同型なままです。列の入れかえは基底の並べかえ、列の $- 1$ 倍は基底の 1 つの符号を変えること（ $e_{j}^{'} = - e_{j}$ ）に当たり、これらも整数で元に戻せます。ただし行や列を $2$ 倍するような操作は逆が整数で書けない（ $\frac{1}{2}$ 倍が必要）ので使えません。変形が終わって $A$ が $diag (d_{1}, \dots, d_{r}, 0, \dots)$ になれば、関係式は新しい基底で「 $d_{1} e_{1}^{'} = 0, \dots, d_{r} e_{r}^{'} = 0$ 」だけになり、 $Z^{n} / H ≅ Z / d_{1} \oplus \dots \oplus Z / d_{r} \oplus Z^{n - r}$ と読めます。 $d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots$ にそろえておけば、これは前提で学んだ単因子型そのものです（ $d_{i} = 1$ の成分 $Z /1$ は自明なので消えます）。

変形が必ず終わるのはユークリッドの互除法と同じ理由です。絶対値が最小の $0$ でない成分を入れかえで $(1, 1)$ に置き、同じ列・同じ行の成分をそれで割った余りに置きかえます（整数倍の加減）。余りが $0$ でなければ、もっと小さい成分が現れたのでそれを新しい $(1, 1)$ にしてくり返します。絶対値は減り続けるので有限回で第 1 行・第 1 列が $(1, 1)$ 以外 $0$ になります。残りの部分に $(1, 1)$ 成分 $a$ で割り切れない成分 $b$ があれば、その行を第 1 行に加えると第 1 行に $b$ が現れ、割った余りは $∣ a ∣$ より小さいので、また $(1, 1)$ を小さくできます。こうして $a$ が残りの全成分を割り切る状態になったら、右下の小さい行列で同じことを続けます。

小行列式による求め方もあります。 $Δ_{k}$ を $A$ の $k$ 次小行列式すべての最大公約数とします。行の基本変形をすると、行列式の多重線形性から各 $k$ 次小行列式は「もとの $k$ 次小行列式の整数係数の和」に変わり、逆の操作も同様なので $Δ_{k}$ は変わりません（列も同じ）。スミス標準形では $0$ でない $k$ 次小行列式は $d_{i_{1}} \dots d_{i_{k}}$ （ $i_{1} < \dots < i_{k}$ ）の形で、 $d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots$ よりその最大公約数は $d_{1} d_{2} \dots d_{k}$ です。よって $Δ_{k} = d_{1} \dots d_{k}$ 、つまり $d_{k} = Δ_{k} / Δ_{k - 1}$ （ $Δ_{0} = 1$ ）となり、単因子は変形の仕方によらず 1 通りに決まります。

手順

関係式を行にならべた整数行列 $A$ （ $m \times n$ 、 $n$ は生成元の個数）を書く。
絶対値最小の $0$ でない成分を行・列の入れかえで $(1, 1)$ に置き、整数倍の加減で第 1 列と第 1 行の他の成分を割った余りにする。余りが残ればそれを新しい $(1, 1)$ にしてくり返し、第 1 行・第 1 列を $(1, 1)$ 以外 $0$ にする。
$(1, 1)$ 成分 $d$ が残りの成分を割り切らなければ、割り切らない成分のある行を第 1 行に加えて手順 2 に戻る。全部割り切れたら、右下の小行列について同じことを続ける。
対角成分を $- 1$ 倍で正にし、 $diag (d_{1}, \dots, d_{r}, 0, \dots)$ （ $d_{1} ∣ \dots ∣ d_{r}$ ）を得る。検算や小さい行列では、 $Δ_{k}$ （ $k$ 次小行列式の最大公約数）から $d_{k} = Δ_{k} / Δ_{k - 1}$ としてもよい。
$Z^{n} / H ≅ Z / d_{1} \oplus \dots \oplus Z / d_{r} \oplus Z^{n - r}$ と書き、 $d_{i} = 1$ の成分は省く。

例題

$H \subset Z^{3}$ を $(2, 4, 6)$ と $(4, 2, 0)$ で生成される部分群とする。行列 $A = (244260)$ の単因子 $d_{1} ∣ d_{2}$ （ $d_{1}, d_{2} > 0$ ）を求め、組 $(d_{1}, d_{2})$ を答えよ。

例題の解答

手順 1: 関係式を行にならべると $A = (244260)$ 。

手順 2: 絶対値最小の成分 $2$ はすでに $(1, 1)$ にある。第 2 行から第 1 行の $2$ 倍を引くと $(20 4 - 6 6 - 12)$ 。第 2 列から第 1 列の $2$ 倍、第 3 列から第 1 列の $3$ 倍を引くと $(20 0 - 6 0 - 12)$ 。

手順 3: 残りの成分 $- 6, - 12$ はどちらも $2$ で割り切れるので、右下 $(- 6 - 12)$ に進む。第 3 列から第 2 列の $2$ 倍を引くと $(20 0 - 6 00)$ 。

手順 4: 第 2 行を $- 1$ 倍して $(200600)$ 。 $2 ∣ 6$ なのでこれがスミス標準形で、 $(d_{1}, d_{2}) = (2, 6)$ 。
検算: $Δ_{1} = g cd (2, 4, 6, 4, 2, 0) = 2$ 。2 次小行列式は $2 \cdot 2 - 4 \cdot 4 = - 12$ 、 $2 \cdot 0 - 6 \cdot 4 = - 24$ 、 $4 \cdot 0 - 6 \cdot 2 = - 12$ で $Δ_{2} = 12$ 。 $d_{1} = Δ_{1} = 2$ 、 $d_{2} = Δ_{2} / Δ_{1} = 6$ で一致する。

手順 5: $Z^{3} / H ≅ Z /2 \oplus Z /6 \oplus Z$ （ $n - r = 3 - 2 = 1$ ）。

答え: $(2, 6)$

よくある誤り

対角行列になった時点で止めてしまう誤り。たとえば $diag (2, 3)$ は $2 ∤ 3$ なのでスミス標準形ではない。正しくは第 2 行を第 1 行に加えて続け、 $diag (1, 6)$ にする（ $Δ_{1} = 1, Δ_{2} = 6$ からもわかる）。群は $Z /6$ である。
行や列を $2$ 倍・ $3$ 倍するなど、逆が整数で書けない操作を使ってしまう誤り。たとえば単位行列 $(1001)$ の第 1 行を $2$ 倍すると $diag (2, 1)$ になり、自明な群が $Z /2$ に変わってしまう。正しくは使えるのは整数倍の加減・入れかえ・ $- 1$ 倍だけ。
関係式の数が生成元の数より少ないときや、 $0$ が対角に残るときの自由部分を落とす誤り。たとえば $Z^{3} / ⟨(2, 4, 6), (4, 2, 0)⟩$ を $Z /2 \oplus Z /6$ （有限群）としてしまう。正しくは $n - r = 1$ 個の $Z$ が付いて $Z /2 \oplus Z /6 \oplus Z$ 。
小行列式で求めるとき $d_{k} = Δ_{k}$ としてしまう誤り。上の例で $Δ_{2} = 12$ から $d_{2} = 12$ とするのは誤りで、正しくは $d_{2} = Δ_{2} / Δ_{1} = 12/2 = 6$ （ $Δ_{k} = d_{1} \dots d_{k}$ だから）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$Z^{2}$ の部分群 $H$ を、2 つの元 $(4, 6)$ , $(2, 8)$ で生成される部分群とし、 $G = Z^{2} / H$ とする。 $G$ は、正の整数 $d_{1}, d_{2}$ で $d_{1} ∣ d_{2}$ を満たすものを用いて
$G ≅ Z / d_{1} Z \oplus Z / d_{2} Z$
と表される。組 $(d_{1}, d_{2})$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

CW 複体の胞体ホモロジー（大学院数学代数的位相幾何）