群論の問題

1. $G$ の構造（単因子）

$H$ の生成元を行とする行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 0\\ 8& 22& 6\end{array}\right)$$
に基本変形を施す。行の基本変形は $H$ の生成元の取り替え、列の基本変形は ${\mathbb{Z}}^3$ の基底の取り替えに対応するので、${\mathbb{Z}}^3/H$ の同型類は変わらない。

• 第 $2$ 行から第 $1$ 行の $4$ 倍を引く: $\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 0\\ 0& 6& 6\end{array}\right)$
• 第 $2$ 列から第 $1$ 列の $2$ 倍を引く: $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 6& 6\end{array}\right)$
• 第 $3$ 列から第 $2$ 列を引く: $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 6& 0\end{array}\right)$

よって単因子は $2,6$ であり（確認: 成分の最大公約数は $2$、$2$ 次小行列式 $12,12,24$ の最大公約数は $12=2\cdot 6$）、
$$G\cong \mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/6\oplus \mathbb{Z}.$$

2. 有限群への帰着

$[G:K]=12$ なら $G/K$ は位数 $12$ の群なので $12(G/K)=0$、すなわち $K\supseteq 12G$。逆に $12G$ を含む部分群は $G/12G$ の部分群と一対一に対応し、指数も保たれる。
$$G/12G\cong \mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/6\oplus \mathbb{Z}/12\cong P\oplus Q,$$
$$P=\mathbb{Z}/4\oplus \mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/2(\text{位数}16),Q=\mathbb{Z}/3\oplus \mathbb{Z}/3(\text{位数}9).$$
$P,Q$ の位数は互いに素なので、$P\oplus Q$ の部分群は $K_2\oplus K_3$（$K_2\le P,K_3\le Q$）の形にただ一通りに書ける。指数 $12$ となるのは $[P:K_2]=4,[Q:K_3]=3$ のときである。

3. $Q$ の指数 $3$ の部分群

$Q={\mathbb{F}}_3^2$ の指数 $3$ の部分群は $1$ 次元部分空間で、その個数は $\frac{3^2-1}{3-1}=4$。

4. $P$ の指数 $4$ の部分群

商 $P/K_2$ は位数 $4$ のアーベル群なので $\mathbb{Z}/4$ か $(\mathbb{Z}/2{)}^2$。

(i) $P/K_2\cong (\mathbb{Z}/2{)}^2$ のとき: $K_2\supseteq 2P$ で、$P/2P\cong {\mathbb{F}}_2^3$ の指数 $4$ の部分群（$1$ 次元部分空間）に対応する。個数は $\frac{2^3-1}{2-1}=7$。

(ii) $P/K_2\cong \mathbb{Z}/4$ のとき: 全射準同型 $P\to \mathbb{Z}/4$ を数える。$P$ の生成元 $e_1$（位数 $4$）, $e_2,e_3$（位数 $2$）の像は、$e_1\mapsto a\in \mathbb{Z}/4$（任意）、$e_2\mapsto b,e_3\mapsto c\in \{0,2\}$。像が $\mathbb{Z}/4$ 全体になるのは $a$ が奇数のときで、全射の個数は $2\cdot 2\cdot 2=8$。同じ核をもつ全射は $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/4)$（位数 $2$）の分だけあるので、このような $K_2$ は $8/2=4$ 個。

よって $P$ の指数 $4$ の部分群は $7+4=11$ 個。

5. 結論

求める個数は $11\times 4=44$。

$H$ の生成元を行とする行列 $\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 0\\ 8& 22& 6\end{array}\right)$ のスミス標準形を求める。成分の gcd は $2$ なので $d_1=2$。$2\times 2$ 小行列式は $12,12,24$ で gcd は $12$ なので $d_1{d}_2=12$、よって $d_2=6$。したがって $G\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/6$。

指数 $12$ の部分群 $K$ は、$G/K$ が位数 $12$ の有限群となるものである。$G/K$ の $2$-部分と $3$-部分に分けて数える。$2$ 部分は指数 $4$、$3$ 部分は指数 $3$ であり、個数は積になる。

(i) 指数 $3$ の部分群。$3$-部分は $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/3$ で、$\mathrm{Hom}(G,\mathbb{Z}/3)\cong (\mathbb{Z}/3{)}^2$。全射は $9-1=8$ 個で、$\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/3)$ の位数 $2$ で割ると $4$ 個。

(ii) 指数 $4$ の部分群。$2$-部分は $A=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/2$。
- 商が $(\mathbb{Z}/2{)}^2$ の場合。$A/2A\cong {\mathbb{F}}_2^3$ なので、階数 $2$ の $2\times 3$ 行列を数える。全射は $(8-1)(8-2)=42$ 個で、$|G{L}_2({\mathbb{F}}_2)|=6$ で割って $7$ 個。
- 商が $\mathbb{Z}/4$ の場合。$\mathrm{Hom}(A,\mathbb{Z}/4)$ は $4\cdot 2\cdot 2=16$ 個。全射になるのは $\mathbb{Z}$ の生成元の像が奇数のときで $2\cdot 2\cdot 2=8$ 個。$\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/4)$ の位数 $2$ で割って $4$ 個。
- 合計 $7+4=11$ 個。

以上より $11\times 4=44$。