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群論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学群論

$Z^{3}$ の部分群 $N$ を、3 つの元
$(2, 4, 4), (- 2, 2, 8), (4, 2, - 4)$
で生成される部分群とし、 $G = Z^{3} / N$ とおく。 $G$ の部分群 $H$ で、指数 $[G : H]$ がちょうど $6$ であるものの個数を求めよ。

この問題で使うもの

整数行列の単因子（スミス標準形）（説明と入口の問題）
有限生成アーベル群の準同型・元・部分群の個数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（83 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず生成元を並べた行列の単因子（スミス標準形）を求めて、 $G$ を巡回群の直和で表しましょう。

ヒント 2

指数 $6$ の部分群 $H$ に対し $G / H ≅ Z /6$ です。指数 $6$ の部分群は全射 $G \to Z /6$ の核と対応し、同じ核を与える全射は $∣ Aut (Z /6) ∣ = 2$ 個ずつです。

ヒント 3

$G ≅ Z /2 \oplus Z /6 \oplus Z$ となります。全射 $G \to Z /6$ は、 $Z /2$ への成分と $Z /3$ への成分がともに $0$ でない準同型です。 $Hom (G, Z /2)$ と $Hom (G, Z /3)$ の大きさを求めましょう。

答えと解説

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解説を読む

$G$ の構造. 生成元を行とする整数行列
$A = 2 - 2 4 422 48 - 4$
の単因子を求める。行基本変形をすると、第 2 行に第 1 行を足して $(0, 6, 12)$ 、第 3 行から第 1 行の 2 倍を引いて $(0, - 6, - 12)$ 、さらに第 3 行に新しい第 2 行を足して $(0, 0, 0)$ となる。よって $N$ は $(2, 4, 4)$ と $(0, 6, 12)$ で生成される。

行列式因子で単因子を求める。すべての成分の最大公約数は $d_{1} = 2$ 。2 次の小行列式は（2 行 $(2, 4, 4)$ , $(0, 6, 12)$ から） $2 \cdot 6 - 0 = 12$ , $2 \cdot 12 - 0 = 24$ , $4 \cdot 12 - 4 \cdot 6 = 24$ で、最大公約数は $12$ 。よって $d_{1} d_{2} = 12$ より $d_{2} = 6$ 。 $det A = 0$ なので第 3 の単因子は $0$ 。したがって
$G ≅ Z /2 \oplus Z /6 \oplus Z .$

指数 6 の部分群の数え上げ. $[G : H] = 6$ のとき $G / H$ は位数 $6$ のアーベル群なので $G / H ≅ Z /6$ 。逆に全射準同型 $f : G \to Z /6$ の核は指数 $6$ の部分群であり、2 つの全射が同じ核をもつのは $Aut (Z /6)$ （位数 $φ (6) = 2$ ）の元の違いだけである。よって
$(求める個数) = \frac{# { 全射 G \to Z /6 }}{2} .$

$Z /6 ≅ Z /2 \times Z /3$ より、 $f$ が全射であることは、 $Z /2$ 成分と $Z /3$ 成分がともに全射（すなわち $0$ でない）ことと同値である。
- $Hom (G, Z /2) ≅ Hom (Z /2, Z /2) \oplus Hom (Z /6, Z /2) \oplus Hom (Z, Z /2) ≅ (Z /2)^{3}$ で、 $0$ でないものは $7$ 個。
- $Hom (G, Z /3) ≅ 0 \oplus Z /3 \oplus Z /3$ で、 $0$ でないものは $8$ 個。

よって全射の個数は $7 \times 8 = 56$ で、求める個数は $56/2 = 28$ 。

別解

生成元を行とする行列 $2 - 2 4 422 48 - 4$ のスミス標準形を求める。

成分の gcd は $d_{1} = 2$ 。
行列式: $2 (2 \cdot (- 4) - 8 \cdot 2) - 4 ((- 2) (- 4) - 8 \cdot 4) + 4 ((- 2) \cdot 2 - 2 \cdot 4) = - 48 + 96 - 48 = 0$ なので階数は 2 以下。
2 次小行列式は $\pm 12, \pm 24$ のみで gcd は 12。よって $d_{1} d_{2} = 12$ , $d_{2} = 6$ 。

ゆえに $G ≅ Z /2 \oplus Z /6 \oplus Z$ 。

指数 6 の部分群 $H$ は $G / H$ が位数 6 のアーベル群、すなわち $Z /6$ であるものに対応する。これは全射準同型 $G \to Z /6$ の個数を $∣ Aut (Z /6) ∣ = 2$ で割ったもの。

$Hom (G, Z /6) = Hom (G, Z /2) \times Hom (G, Z /3)$ で、全射であることは両成分が全射（零写像でない）であることと同値。
- $G /2 G ≅ (Z /2)^{3}$ より $Hom (G, Z /2)$ は 8 個、零でないものは 7 個。
- $G /3 G ≅ (Z /3)^{2}$ より $Hom (G, Z /3)$ は 9 個、零でないものは 8 個。

全射は $7 \cdot 8 = 56$ 個、部分群は $56/2 = 28$ 個。

検算: 指数 2 の部分群 7 個と指数 3 の部分群 $8/2 = 4$ 個の共通部分で指数 6 の部分群が一意に決まるので $7 \cdot 4 = 28$ 。

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