群論の問題

単因子による $G$ の構造の決定. $H$ の生成元を行とする行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 4& 2& 0\\ 6& 6& 6\end{array}\right)$$
に整数上の基本変形（行の変形は $H$ の生成系の取り替え、列の変形は ${\mathbb{Z}}^3$ の基底の取り替えに対応する）を施す。

第 2 列から第 1 列の $2$ 倍を、第 3 列から第 1 列の $3$ 倍を引くと
$$\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 4& -6& -12\\ 6& -6& -12\end{array}\right).$$
第 2 行から第 1 行の $2$ 倍を、第 3 行から第 1 行の $3$ 倍を引くと
$$\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -6& -12\\ 0& -6& -12\end{array}\right).$$
第 3 行から第 2 行を引き、第 3 列から第 2 列の $2$ 倍を引き、第 2 行を $-1$ 倍すると
$$\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$
$2\mid 6$ なので、これがスミス標準形であり、単因子は $2,6,0$ である。（確認: 成分の最大公約数は $2$、$2$ 次小行列式は $-12,-24,-12$ などでその最大公約数は $12=2\cdot 6$、$\det A=0$ である。）したがって
$$G\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}.$$

準同型の数え上げ. 準同型 $f:G\to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ は、各直和因子の生成元 $e_1,e_2,e_3$（位数 $2$, $6$, 無限）の行き先 $a,b,c\in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ で決まり、条件は $2a=0,6b=0$（$c$ は任意）である。$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ で $2a=0$ となるのは $a\in \{0,2\}$、$6b=2b=0$ となるのは $b\in \{0,2\}$ である。よって準同型は全部で $2\cdot 2\cdot 4=16$ 個ある。

$f$ の像は $a,b,c$ で生成される部分群である。$a,b\in \{0,2\}=2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ なので、像が $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 全体になるのは $c$ が生成元、すなわち $c\in \{1,3\}$ のときに限る（$c$ が偶数なら像は $\{0,2\}$ に含まれる）。したがって全射の個数は
$$2\cdot 2\cdot 2=8.$$

（別の確認: ${\mathbb{Z}}^3$ の標準基底の行き先を $u_1,u_2,u_3\in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ とすると、条件は $2u_1+2u_3=0,2u_2=0$ で、$u_2$ は偶数、$u_1+u_3$ は偶数。全射となるのは $u_1,u_3$ がともに奇数のときで、$2\cdot 2\cdot 2=8$ 個となり一致する。）

答えは $8$ である。

$H$ の生成元を行とする行列 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 4& 2& 0\\ 6& 6& 6\end{array}\right)$ のスミス標準形を求める。第1行+第2行 $=(6,6,6)$ = 第3行なので階数は 2。

• 成分の gcd: $d_1=2$。
• 2×2 小行列式: 第1,2行から、列(1,2): $2\cdot 2-4\cdot 4=-12$、列(1,3): $2\cdot 0-6\cdot 4=-24$、列(2,3): $4\cdot 0-6\cdot 2=-12$。第3行を含むものは第1,2行の和なので、これらの整数倍の組合せとなり gcd は 12 の倍数。よって gcd $=12$、$d_1{d}_2=12$ より $d_2=6$。
• 3×3 行列式は 0 なので $d_3=0$。

ゆえに $G\cong \mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/6\oplus \mathbb{Z}$。

準同型の個数: $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/4)$ は $\gcd (2,4)=2$ 個、$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/6,\mathbb{Z}/4)$ は $\gcd (6,4)=2$ 個、$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}/4)$ は 4 個。合計 $2\cdot 2\cdot 4=16$ 個。

$\mathbb{Z}/4$ の真部分群で極大なものは $2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ のみなので、$f$ が全射でないことと像が $\{0,2\}$ に含まれることは同値。像が $\{0,2\}$ に含まれる準同型は、各成分で $2\cdot 2\cdot 2=8$ 個（$\mathbb{Z}$ の生成元の行き先は 0 か 2 の 2 通り）。

よって全射なものは $16-8=8$ 個。

検算: $f$ が全射 $⟺$ $f$ を 2 で割った $G\to \mathbb{Z}/2$ が非自明、すなわち $G/2G\cong (\mathbb{Z}/2{)}^3$ 上の非零な線形写像...ではなく、$\mathrm{Hom}(G,\mathbb{Z}/4)$ の元で 2 を法として非零となるもの。法 2 の写像は $\mathrm{Hom}(G,\mathbb{Z}/2)\cong (\mathbb{Z}/2{)}^3$ に入り、$\mathbb{Z}/2$ 成分は $\mathbb{Z}/4$ へ持ち上がらない（$1\mapsto$ 奇数は位数 2 に反する）ので、持ち上がる法 2 写像は第1成分が 0 のもの（4 個）で、非零なものは 3 個。各々の持ち上がりは 16/4=4... 実際の数え上げ（直接）で 8 個となる: 第1成分 2 通り(0,2)、第2成分 $\mathbb{Z}/6$ は $1\mapsto 0,2$ のどちらか、$\mathbb{Z}$ 成分は 4 通りで、奇数の像をもつのは $\mathbb{Z}$ 成分が 1 または 3 のとき: $2\cdot 2\cdot 2=8$。一致。