群論の問題

群の位数. $G$ の元は、$1$ 列目が ${\mathbb{F}}_7^2$ の零でないベクトル、$2$ 列目が $1$ 列目のスカラー倍でないベクトルであるような行列である。よって
$$|G|=(7^2-1)(7^2-7)=48\cdot 42=2016$$
である。

$A^3=I$ をみたす元の形. ${\mathbb{F}}_7$ では $2^3=8\equiv 1$, $4^3=64\equiv 1$ なので
$$x^3-1=(x-1)(x-2)(x-4)$$
と相異なる $1$ 次式の積に分解する。$A\in G$ が $A^3=I$ をみたすとき、$A$ の最小多項式は $x^3-1$ を割り切る。したがって最小多項式は重根をもたない $1$ 次式の積であり、$A$ は ${\mathbb{F}}_7$ 上で対角化可能で、固有値は $\{1,2,4\}$ に属する。逆に、そのような対角化可能行列は $A^3=I$ をみたす。

固有値の組（重複を含む）で場合分けする。

- 固有値が等しい場合. $A$ はスカラー行列 $aI$ $(a\in \{1,2,4\})$ である。これは $3$ 個ある。
- 固有値が異なる場合. 組 $\{a,b\}$ は $\{1,2\},\{1,4\},\{2,4\}$ の $3$ 通りある。各組について、該当する $A$ は $\mathrm{diag}(a,b)$ の共役全体である。$a\ne b$ なので、$\mathrm{diag}(a,b)$ と可換な正則行列は対角正則行列に限られる。よって中心化群の位数は $6\cdot 6=36$ である。軌道・固定群定理より、共役類の大きさは
$$\frac{2016}{36}=56$$
となる。したがってこの場合は $3\cdot 56=168$ 個である。

以上より、$A^3=I$ をみたす $A$ は $3+168=171$ 個ある。

位数がちょうど $3$ の元. 位数が $3$ の約数である元のうち、位数が $1$ のものは単位行列 $I$ だけである。これを除いて
$$171-1=170$$
を得る。

位数がちょうど $3$ の元 $A$ は $A^3=I$, $A\ne I$ を満たす。$x^3-1=(x-1)(x-2)(x-4)$ が ${\mathbb{F}}_7$ 上で相異なる一次式に分解する（$2^3=8=1$, $4^3=64=1$）。したがって $A$ の最小多項式は重根をもたず、$A$ は ${\mathbb{F}}_7$ 上で対角化可能で、固有値は $\{1,2,4\}$ の元である。

(1) スカラー行列: $2I$, $4I$ の $2$ 個（$I$ は位数 $1$ なので除く）。

(2) スカラーでない場合: 固有値は $\{1,2,4\}$ から選んだ相異なる $2$ つで、組は $3$ 通り。各組について、対角行列 $\mathrm{diag}(a,b)$ の共役類の大きさは $|G|/|T|$ である。ここで $T$ は対角トーラスで $|T|=6^2=36$。また $|G|=(49-1)(49-7)=2016$ なので、共役類の大きさは $2016/36=56$。よって $3\times 56=168$ 個。

合計は $168+2=170$。

検算: 固有値が $1,2,4$ のうち相異なる 2 つであれば、固有空間は 1 次元ずつ。固有直線の順序つき対の数は $8\cdot 7=56$ であり、これは共役類の大きさ $56$ と一致する。