軌道・固定部分群の公式と類等式

以下、$G$ は有限群とします（$|G|=[G:H]|H|$ や類等式は、位数が有限であることを前提にした数え上げです）。$G$ の集合 $X$ への作用とは、各 $g\in G$, $x\in X$ に $gx\in X$ を対応させ、$ex=x$, $(gh)x=g(hx)$ を満たすものです。軌道を $Gx=\{gx\mid g\in G\}$、固定部分群を $G_x=\{g\in G\mid gx=x\}$ とします。$ex=x$ より $e\in G_x$ です。また $h\in G_x$ なら $h^{-1}x=h^{-1}(hx)=(h^{-1}h)x=ex=x$ より $h^{-1}\in G_x$ で、$g,h\in G_x$ なら $(gh)x=g(hx)=gx=x$ より $gh\in G_x$ です。よって $G_x$ は部分群です。部分群 $H$ に対し $gH=\{gh\mid h\in H\}$ を左剰余類といい、相異なる左剰余類の個数を指数 $[G:H]$ と書きます。左剰余類は互いに交わらないか一致し、どれも $h\mapsto gh$ により $H$ と同じ個数の元をもつので、$G$ は大きさ $|H|$ の塊 $[G:H]$ 個に分かれ、$|G|=[G:H]|H|$ です（特に $|H|$ は $|G|$ を割り切ります）。

鍵は $gx=hx⟺h^{-1}g\in G_x⟺g{G}_x=h{G}_x$ という同値です（$gx=hx$ の両辺に左から $h^{-1}$ を作用させると $(h^{-1}g)x=x$ になります）。右から左（$g{G}_x=h{G}_x\Rightarrow gx=hx$）を読めば、写像 $g{G}_x\mapsto gx$ は剰余類の代表 $g$ の選び方によらず定まります。左から右（$gx=hx\Rightarrow g{G}_x=h{G}_x$）を読めば、この写像は単射です。$Gx$ の元はすべて $gx$ の形なので全射でもあります。よって左剰余類と軌道の点が 1 対 1 に対応し、$|Gx|=[G:G_x]=|G|/|G_x|$ が成り立ちます。直観的には「$x$ を同じ点に送る元はちょうど $|G_x|$ 個ずつまとまっている」ということです。

$X=G$ に共役 $g\cdot x=gx{g}^{-1}$ で作用させると、軌道は $x$ の共役類、固定部分群は中心化群 $C_G(x)=\{g\in G\mid gx=xg\}$ になり、共役類の大きさは $|G|/|C_G(x)|$ です。共役類は $G$ を分割し、大きさ 1 の類 $\{x\}$ になるのは $x$ がすべての元と可換なとき、すなわち $x\in Z(G)$（中心 $Z(G)=\{x\in G\mid \text{すべての }g\in G\text{ で }gx=xg\}$）のときです。そこで大きさ 2 以上の類から代表 $g_1,\dots ,g_k$ を 1 つずつ選べば $|G|=|Z(G)|+{\sum }_{i=1}^k[G:C_G(g_i)]$（類等式）が得られます。例えば $D_4$ では類が $\{e\},\{r^2\},\{r,r^3\},\{s,s{r}^2\},\{sr,s{r}^3\}$ で $8=1+1+2+2+2$ です。

$|G|=p^n$（$p$ は素数, $n\ge 1$）なら、各 $[G:C_G(g_i)]$ は $p^n$ の約数で 1 より大きいので $p$ の倍数です。類等式から $|Z(G)|=|G|-\sum [G:C_G(g_i)]$ も $p$ の倍数で、$e\in Z(G)$ より $|Z(G)|\ge 1$ なので $|Z(G)|\ge p$、つまり中心は自明でありません。さらに $|G|=p^2$ で $G$ が非可換だとすると、$Z(G)\ne G$ で $|Z(G)|$ は $p^2$ の約数かつ $p$ 以上なので $|Z(G)|=p$ です。$g\notin Z(G)$ をとると $C_G(g)$ は部分群で $Z(G)$ と $g$ を含むので、位数が $p$ より大きい $p^2$ の約数、すなわち $p^2$ となり $C_G(g)=G$ です。これは $g\in Z(G)$ を意味して矛盾です。よって位数 $p^2$ の群は可換です。