群論の問題

群の位数. 第 $1$ 列は零でない $25-1=24$ 通り、第 $2$ 列は第 $1$ 列のスカラー倍でない $25-5=20$ 通りなので $|G{L}_2({\mathbb{F}}_5)|=24\cdot 20=480$。

対角化可能性. ${\mathbb{F}}_5^{\times }=\{1,2,3,4\}$ は位数 $4$ の巡回群なので
$$x^4-1=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$$
と ${\mathbb{F}}_5$ 上で相異なる $1$ 次式の積に分解する。$A^4=I$ ならば $A$ の最小多項式は $x^4-1$ を割るので重根をもたず、$A$ は ${\mathbb{F}}_5$ 上で対角化可能で、固有値は $\{1,2,3,4\}$ に属する。逆に、そのような対角化可能な $A$ は $A^4=I$ を満たす。

各元の乗法的位数は $1$ が $1$, $4$ が $2$, $2$ と $3$ が $4$（$2^2=4$, $3^2=4$）。対角化 $A=P\mathrm{diag}(a,b)P^{-1}$ について $A$ の位数は $a,b$ の位数の最小公倍数なので、位数がちょうど $4$ であることは「$a,b$ の少なくとも一方が $2$ または $3$」と同値である。

数え上げ.
- $a=b$ の場合: $A=aI$ はスカラー行列で、$a\in \{2,3\}$ の $2$ 個。
- $a\ne b$ の場合: $A$ は $\mathrm{diag}(a,b)$ と共役で、共役類は無順序対 $\{a,b\}$ で決まる。$\{1,2,3,4\}$ の $2$ 元部分集合 $6$ 個のうち、$2,3$ をどちらも含まないのは $\{1,4\}$ だけなので、条件を満たす対は $5$ 個。$\mathrm{diag}(a,b)$（$a\ne b$）と可換な行列は対角行列に限るので中心化群の位数は $4\cdot 4=16$、共役類の大きさは $480/16=30$。よって $5\cdot 30=150$ 個。

以上より、位数がちょうど $4$ の元の個数は
$$2+150=152.$$

$|G{L}_2({\mathbb{F}}_5)|=(25-1)(25-5)=480$。位数 4 は標数 5 と互いに素なので、位数 4 の元は半単純であり、固有値は $\overline{{\mathbb{F}}_5}$ の 4 乗根。

(i) 固有値が ${\mathbb{F}}_5$ に入る場合（対角化可能）。${\mathbb{F}}_5^{\times }=\{1,2,3,4\}$ は位数 4 の巡回群で、位数は $1\to 1,4\to 2,2,3\to 4$。固有値の組 $\{a,b\}$（順序なし）の位数 $\mathrm{lcm}$ が 4 になるのは、$a,b$ の少なくとも一方が $2$ または $3$ のとき。
- $a=b$（スカラー行列）: $2I,3I$ の 2 個。
- $a\ne b$: 全 6 組のうち $\{1,4\}$ を除く 5 組 $\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}$。各組について共役類の大きさは $|G{L}_2|/|T|=480/16=30$（$T$ は対角トーラス、中心化群）。よって $5\cdot 30=150$ 個。

(ii) 固有値が ${\mathbb{F}}_{25}\setminus {\mathbb{F}}_5$ の場合。${\mathbb{F}}_{25}^{\times }$ は位数 24 の巡回群で、位数 4 の元はちょうど 2 個（${\mathbb{F}}_5^{\times }$ の位数 4 の元 $2,3$）であり、すべて ${\mathbb{F}}_5$ に入る。よってこの場合は 0 個。

合計 $2+150=152$。

検算: 位数が 4 の約数となる元の個数を別に数える。$x^4=1$ の解は固有値が 4 乗根で半単純かつ対角化可能（ここでは全固有値が ${\mathbb{F}}_5$ 内）なものなので、固有値の組は $\{a,b\}$ 全 10 組。スカラー 4 個、非スカラーは 6 組で $6\cdot 30=180$、合計 184 個。位数 1 が 1 個、位数 2 が $\{4,4\}$（スカラー $-I$ の 1 個）と $\{1,4\}$（30 個）で 31 個。$184-1-31=152$ で一致。