群論の問題

$2023=7\cdot 17^2$, $119=7\cdot 17$, $289=17^2$ である。

シロー部分群が正規であること.
- シロー $17$ 部分群の個数 $n_{17}$ は $7$ を割り切り $n_{17}\equiv 1(\mathrm{mod}17)$ を満たすので $n_{17}=1$。
- シロー $7$ 部分群の個数 $n_7$ は $289$ を割り切るので $1,17,289$ のいずれか。$17\equiv 3$, $289\equiv 2(\mathrm{mod}7)$ より、$n_7\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ を満たすのは $n_7=1$ だけ。

よってシロー $7$ 部分群 $P_7$（位数 $7$）とシロー $17$ 部分群 $P_{17}$（位数 $289$）はともに正規で、$P_7\cap P_{17}=1$, $|P_7{P}_{17}|=2023$ なので
$$G\cong P_7\times P_{17}.$$

$P_{17}$ の決定. 位数 $p^2$ の群はアーベル群で $\mathbb{Z}/p^2$ または $(\mathbb{Z}/p{)}^2$ である。$G$ が位数 $289$ の元をもたないので $P_{17}\cong \mathbb{Z}/17\times \mathbb{Z}/17$。したがって
$$G\cong \mathbb{Z}/7\times \mathbb{Z}/17\times \mathbb{Z}/17.$$

数え上げ. 元 $(a,b)\in \mathbb{Z}/7\times (\mathbb{Z}/17{)}^2$ の位数は $\mathrm{lcm}(\mathrm{ord}a,\mathrm{ord}b)$ で、$\mathrm{ord}a\in \{1,7\}$, $\mathrm{ord}b\in \{1,17\}$。位数が $119$ になるのは $\mathrm{ord}a=7$ かつ $\mathrm{ord}b=17$ のとき。
- 位数 $7$ の $a$: $6$ 個。
- 位数 $17$ の $b$: $(\mathbb{Z}/17{)}^2$ の単位元以外の $17^2-1=288$ 個。

よって求める個数は $6\times 288=1728$。

$2023=7\cdot 17^2$。

• シロー 17 部分群: $n_{17}\mid 7$, $n_{17}\equiv 1(\mathrm{mod}17)$ より $n_{17}=1$。位数 289 の正規部分群 $P$。位数 289 の元をもたないので $P$ は巡回群でなく、$P\cong (\mathbb{Z}/17{)}^2$。
• シロー 7 部分群: $n_7\mid 289$, $n_7\equiv 1(\mathrm{mod}7)$。候補 $1,17,289$ のうち $17\equiv 3$, $289\equiv 2(\mathrm{mod}7)$ なので $n_7=1$。位数 7 の正規部分群 $Q$。

$P,Q$ はともに正規で $P\cap Q=1$、位数の積が $|G|$ なので $G\cong P\times Q\cong (\mathbb{Z}/17{)}^2\times \mathbb{Z}/7$（アーベル群）。

位数がちょうど 119 $=7\cdot 17$ の元は $(a,b)\in P\times Q$ で $a$ の位数 17、$b$ の位数 7。$a$ は $P$ の単位元以外で $17^2-1=288$ 個、$b$ は $7-1=6$ 個。

個数は $288\cdot 6=1728$。