群論の問題

$105=3\cdot 5\cdot 7$ である。$p$-シロー部分群の個数を $n_p$ と書く。

(1) 位数 $35$ の正規部分群. シローの定理より $n_5\equiv 1(\mathrm{mod}5),n_5\mid 21$ から $n_5\in \{1,21\}$、$n_7\equiv 1(\mathrm{mod}7),n_7\mid 15$ から $n_7\in \{1,15\}$。もし $n_5=21,n_7=15$ なら、相異なる位数 $5$ の部分群どうしは単位元でしか交わらないので位数 $5$ の元が $21\cdot 4=84$ 個、同様に位数 $7$ の元が $15\cdot 6=90$ 個となり、$84+90>105$ で矛盾。よって $n_5=1$ または $n_7=1$。
- $n_5=1$ のとき、$P_5⊴G$ で $G/P_5$ は位数 $21$。位数 $21$ の群では $n_7\in \{1\}$（$n_7\equiv 1(\mathrm{mod}7),n_7\mid 3$）なので $G/P_5$ のシロー $7$-部分群は正規で、その逆像 $N$ は位数 $35$ の $G$ の正規部分群。
- $n_7=1$ のとき、$G/P_7$ は位数 $15$ で、$n_5\equiv 1(\mathrm{mod}5),n_5\mid 3$ より $n_5=1$。その逆像 $N$ は位数 $35$ の正規部分群。

位数 $35$ の群では $n_5=n_7=1$ となり（$n_5\mid 7,n_5\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ など）、$N\cong C_5\times C_7\cong C_{35}$ は巡回群。$N$ のシロー $5$-部分群 $P_5$、シロー $7$-部分群 $P_7$ は $N$ の特性部分群なので $G$ で正規である。

(2) $P_5$ は中心に含まれる. $P_3$ をシロー $3$-部分群とする。共役作用 $P_3\to \mathrm{Aut}(P_5)\cong C_4$ は、$3\nmid 4$ より自明。また $P_5\subseteq N$ で $N$ は可換なので $P_7$ も $P_5$ と可換。$G=P_5{P}_7{P}_3$（位数を比べる）だから $P_5\subseteq Z(G)$。

(3) 直積分解. $H=P_7{P}_3$ は $P_7$ が正規なので位数 $21$ の部分群。$P_5\cap H=\{e\}$、$P_5$ は中心的、$|P_5||H|=105$ より $G\cong P_5\times H$。$H$ が可換なら $G$ も可換になるので、$H$ は非可換である。

(4) $H$ の位数 $3$ の元. $H$ では $n_3\in \{1,7\}$。$n_3=1$ なら $H$ のシロー部分群がともに正規で $H\cong C_3\times C_7$ が可換になり矛盾するので $n_3=7$。位数 $3$ の部分群どうしは単位元でしか交わらないから、$H$ の位数 $3$ の元は $7\cdot 2=14$ 個。

(5) 数える. $G\cong P_5\times H$ の元 $(a,h)$ の位数は $\mathrm{lcm}(|a|,|h|)$ で、$|a|\in \{1,5\}$、$|h|\in \{1,3,7,21\}$（ただし $H$ は非可換なので位数 $21$ の元はない）。これが $15$ になるのは $|a|=5$ かつ $|h|=3$ のときに限る。よって個数は
$$4\times 14=56$$
である。

$|G|=105=3\cdot 5\cdot 7$。シローの定理より $n_5\in \{1,21\}$、$n_7\in \{1,15\}$ だが、$n_5=21$ かつ $n_7=15$ だと位数 5 の元が $84$ 個、位数 7 の元が $90$ 個となり $105$ を超えて矛盾。よって $5$-シロー群 $P_5$ または $7$-シロー群 $P_7$ の少なくとも一方は正規で、$P_5{P}_7$ は位数 35 の部分群、巡回群 $C_{35}$ であり、これは $G$ の正規部分群（指数 3 の部分群で $G$ の位数 35 の部分群の共役の積み方から、実際 $n_5=1$ または $n_7=1$ のどちらでも $C_{35}$ が正規になる）。したがって $G=C_{35}⋊C_3$。$C_3$ の $\mathrm{Aut}(C_{35})\cong C_4\times C_6$ への作用は、$C_5$ には自明（$3\nmid |\mathrm{Aut}(C_5)|=4$）、$C_7$ には自明または位数 3 の自己同型。非可換なら $C_7$ への作用が非自明で、$G\cong C_5\times (C_7⋊C_3)$（非可換群は同型を除き一意）。

位数 15 の元は $(a,b)\in C_5\times F_{21}$（$F_{21}=C_7⋊C_3$）で位数 5 の $a$ と位数 3 の $b$ の組。位数 5 の $a$ は $4$ 個。$F_{21}$ の位数 3 の元は、$7$-シロー群が正規で位数 7 の元が 6 個、残り $21-1-6=14$ 個が位数 3。よって $4\times 14=56$。

検算: 位数 15 の元は位数 15 の巡回部分群 $C_{15}$ を生成し、各 $C_{15}$ には $\phi (15)=8$ 個の生成元がある。$C_{15}=C_5\times ⟨b⟩$ の形で $⟨b⟩$ は $F_{21}$ の位数 3 部分群 7 個なので $7\cdot 8=56$。一致。