群論の問題

$39=3\cdot 13$ である。

手順 1: シロー部分群の個数を調べる。

シローの定理より、$n_{13}\equiv 1(\mathrm{mod}13)$ かつ $n_{13}\mid 3$ なので $n_{13}=1$ である。よってシロー $13$ 部分群 $Q$ は正規である。

また $n_3\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ かつ $n_3\mid 13$ なので $n_3\in \{1,13\}$ である。もし $n_3=1$ なら、シロー $3$ 部分群 $P$ も正規となり、すべてのシロー部分群が正規なので $G\cong P\times Q\cong \mathbb{Z}/3\times \mathbb{Z}/13$ となって $G$ は可換になる。これは $G$ が非可換であることに反するので、$n_3=13$ である。

手順 2: 位数 $3$ の元を数える。

位数 $3$ の元 $g$ は、位数 $3$ の部分群 $⟨g⟩$、すなわちシロー $3$ 部分群のちょうど 1 つに含まれる。各シロー $3$ 部分群は位数 $3$ の巡回群で、単位元以外の $3-1=2$ 個の元がすべて位数 $3$ である。また、相異なる 2 つのシロー $3$ 部分群の共通部分は位数が $3$ の真の約数なので単位元だけである。したがって位数 $3$ の元の個数は

$$n_3(3-1)=13\cdot 2=26.$$

（確認: 位数 $13$ の元は $Q$ の単位元以外の $12$ 個で、$1+12+26=39=|G|$ となり矛盾はない。）

よって答えは $26$ 個である。

$39=3\cdot 13$。シローの定理より、13-シロー部分群の個数 $n_{13}$ は $3$ の約数かつ $n_{13}\equiv 1(\mathrm{mod}13)$ なので $n_{13}=1$。よって位数 13 の部分群 $P$ は正規。3-シロー部分群の個数 $n_3$ は $13$ の約数かつ $n_3\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ なので $n_3\in \{1,13\}$。$n_3=1$ ならば位数 3 の部分群も正規となり、$G\cong \mathbb{Z}/3\times \mathbb{Z}/13$ は可換になるので、$G$ が非可換であることから $n_3=13$。位数 3 の部分群は位数 3 の巡回群で、各々に位数 3 の元がちょうど 2 個あり、異なる 2 つの位数 3 の部分群の共通部分は単位元のみ（位数が素数 3 なので）。したがって位数 3 の元の個数は $13\times 2=26$。検算: 位数 13 の元は $12$ 個、単位元 1 個で、$1+12+26=39$ となり全元と一致する（位数は 1, 3, 13 のみ、位数 39 の元は非可換なので存在しない）。