群論の問題

$351=3^3\cdot 13$ である。シロー $p$-部分群の個数を $n_p$ と書く。

1. シロー $3$-部分群は正規である。 シローの定理より $n_{13}\equiv 1(\mathrm{mod}13)$ かつ $n_{13}\mid 27$ なので $n_{13}\in \{1,27\}$ である。仮定より $n_{13}\ne 1$ だから $n_{13}=27$ となる。相異なる位数 $13$ の部分群どうしの共通部分は単位群なので、位数 $13$ の元は
$$27\times (13-1)=324$$
個ある。残りの元は $351-324=27$ 個しかない。シロー $3$-部分群 $P$（位数 $27$）は位数 $13$ の元を含まないから、どのシロー $3$-部分群もこの残り $27$ 個の元からなる集合と一致する。したがって $n_3=1$ であり、$P$ は $G$ の正規部分群である。

2. $P$ は基本アーベル群 $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^3$ である。 シロー $13$-部分群 $Q\cong \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ を 1 つとる。$P\cap Q=\{e\}$ かつ $|PQ|=351$ なので $G=P⋊Q$ であり、共役作用により準同型 $\theta :Q\to \mathrm{Aut}(P)$ が定まる。$\theta$ が自明だと $G\cong P\times Q$ となって $Q$ が正規になり、仮定に反する。よって $\theta$ は単射であり、$13\mid |\mathrm{Aut}(P)|$ でなければならない。

$\Phi (P)$ を $P$ のフラッティーニ部分群とする。$P/\Phi (P)\cong (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^d$（$d$ は $P$ の最小生成元数）であり、バーンサイドの基底定理より、自然な準同型 $\mathrm{Aut}(P)\to G{L}_d({\mathbb{F}}_3)$ の核は $3$-群である。したがって
$$13\mid |\mathrm{Aut}(P)|⟹13\mid |G{L}_d({\mathbb{F}}_3)|$$
が成り立つ。$|G{L}_1({\mathbb{F}}_3)|=2$、$|G{L}_2({\mathbb{F}}_3)|=(9-1)(9-3)=48$ はどちらも $13$ で割り切れないので、$d=3$ でなければならない。このとき $|P/\Phi (P)|=27=|P|$ より $\Phi (P)=\{e\}$ となり、$P\cong (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^3$ である。実際 $|G{L}_3({\mathbb{F}}_3)|=26\cdot 24\cdot 18=11232=2^5\cdot 3^3\cdot 13$ は $13$ で割り切れる。

（参考として、位数 $27$ の群の自己同型群の位数を並べると、$\mathbb{Z}/27$ は $18$、$\mathbb{Z}/9\times \mathbb{Z}/3$ は $108$、非可換な 2 つの群は $432$ と $54$ であり、$13$ で割り切れるのは $(\mathbb{Z}/3{)}^3$ の場合だけである。）

3. 位数 $9$ の部分群の個数。 位数 $9$ の部分群は $3$-群なので、あるシロー $3$-部分群に含まれる。シロー $3$-部分群は $P$ だけだから、求める個数は $P\cong {\mathbb{F}}_3^3$ の位数 $9$ の部分群の個数、すなわち ${\mathbb{F}}_3^3$ の $2$ 次元部分空間の個数に等しい。これは
$$\frac{(3^3-1)(3^3-3)}{(3^2-1)(3^2-3)}=\frac{26\cdot 24}{8\cdot 6}=13$$
である。

4. 条件をみたす群の存在。 有限体 ${\mathbb{F}}_{27}$ の乗法群は位数 $26$ の巡回群なので、位数 $13$ の部分群 $C$ をもつ。$G=\{x\mapsto ax+b\mid a\in C,b\in {\mathbb{F}}_{27}\}$ を考えると、これは位数 $351$ の群である。$C$ は ${\mathbb{F}}_{27}$ の非零元を固定せずに作用するので $Q$ は正規でなく、仮定をみたす群が実際に存在する。

したがって、求める個数は $13$ である。

$351=3^3\cdot 13$ である。シロー定理より、シロー $13$-部分群の個数 $n_{13}$ は $27$ の約数で $n_{13}\equiv 1(\mathrm{mod}13)$ をみたす。$27$ の約数 $1,3,9,27$ のうち条件をみたすのは $1$ と $27$ のみである。正規でないので $n_{13}=27$ となる。

シロー $13$-部分群は位数 $13$ の素数位数の群なので、異なる二つの共通部分は単位元のみである。よって位数 $13$ の元は $27\cdot 12=324$ 個ある。残りの元は $351-324=27$ 個で、位数が $13$ でない元は単位元を含めてこれだけである。シロー $3$-部分群の元は位数が $13$ でないから、すべてこの $27$ 個の中にある。シロー $3$-部分群は位数 $27$ なのでこの $27$ 個と一致し、したがって一意であって正規である。これを $Q$ とおく。

$G=Q⋊C_{13}$ で、$C_{13}$ は $Q$ に自明でなく作用する（自明なら $C_{13}$ が正規になってしまう）。そのため $13\mid |\mathrm{Aut}(Q)|$ が必要である。位数 $27$ の群ごとに $|\mathrm{Aut}(Q)|$ を調べると次のとおりである。
- $C_{27}$: $|\mathrm{Aut}|=18$
- $C_9\times C_3$: $|\mathrm{Aut}|=108$
- 指数 $3$ のハイゼンベルク群: $|\mathrm{Aut}|=432$
- 指数 $9$ の非可換群: 位数は $13$ で割り切れない
- $C_3^3$: $|\mathrm{Aut}|=|G{L}_3(3)|=11232=2^5\cdot 3^3\cdot 13$

$13$ で割り切れるのは最後の $C_3^3$ のみなので、$Q\cong C_3^3$ である。

位数 $9$ の部分群は $3$-群なので、あるシロー $3$-部分群に含まれる。シロー $3$-部分群は $Q$ だけなので、$Q$ に含まれる。位数 $9$ の部分群は ${\mathbb{F}}_3^3$ の $2$ 次元部分空間に対応し、その個数は $\frac{3^3-1}{3-1}=13$ である。

検算: $2$ 次元部分空間の個数は双対により $1$ 次元部分空間の個数と等しく、$26/2=13$ となる。