有限体上の行列群の位数

$∣ G L_{n} (F_{q}) ∣ = \prod_{i = 0}^{n - 1} (q^{n} - q^{i})$ 、 $∣ S L_{n} (F_{q}) ∣ = ∣ G L_{n} (F_{q}) ∣/ (q - 1)$ 、 $∣ P S L_{2} (F_{q}) ∣ = q (q^{2} - 1) / g cd (2, q - 1)$ を求め、上三角ユニポテント行列の群が位数 $q^{n (n - 1) /2}$ のシロー $p$ 部分群であることを使って位数 $p$ の元やシロー部分群の個数を求められる（例: $∣ G L_{2} (F_{3}) ∣ = 48$ 、その位数 $3$ の元は $8$ 個で $n_{3} = 4$ ）

前提

有限体上の階数を指定した行列の個数（大学院数学代数的組合せ論）
シローの定理とシロー部分群の個数（大学院数学群論）

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算数中学高校大学大学院

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有限体上の階数を指定した行列の個数（大学院数学代数的組合せ論）
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軌道・固定部分群の公式と類等式（大学院数学群論）
中心化群・正規化群の位数（大学院数学群論）
シローの定理とシロー部分群の個数（大学院数学群論）

説明

有限体 $F_{q}$ （ $q = p^{f}$ 、 $p$ は素数）上の正則行列全体の群 $G L_{n} (F_{q})$ 、行列式 $1$ の行列全体 $S L_{n} (F_{q})$ 、さらに $S L_{2} (F_{q})$ をその中心で割った群 $P S L_{2} (F_{q})$ の位数を、 $q$ の式として求められるようになります。さらに、対角成分がすべて $1$ の上三角行列（上三角ユニポテント行列）の群がシロー $p$ 部分群になることを使い、シロー $p$ 部分群の個数や位数 $p$ の元の個数を数えられます。有限群の具体例の計算や、シローの定理を使う問題で頻繁に現れる場面です。

なぜそうしてよいのか

$n \times n$ 行列が正則であることは、階数が $n$ であること、つまり列ベクトル $v_{1}, \dots, v_{n}$ が $F_{q}^{n}$ の基底になることと同じです。 $v_{1}$ は零ベクトル以外の $q^{n} - 1$ 通り、 $v_{2}$ は $v_{1}$ の張る $1$ 次元部分空間（ $q$ 個の元）の外から $q^{n} - q$ 通り、一般に $v_{i + 1}$ は $v_{1}, \dots, v_{i}$ の張る $i$ 次元部分空間（ $q^{i}$ 個の元）の外から $q^{n} - q^{i}$ 通り選べます。積の法則より $∣ G L_{n} (F_{q}) ∣ = \prod_{i = 0}^{n - 1} (q^{n} - q^{i})$ です。これは前提の技能の「階数 $r$ の $m \times n$ 行列の個数」で $m = n = r$ とした場合（ $(n n)_{q} = 1$ ）にあたります。

行列式 $det : G L_{n} (F_{q}) \to F_{q}^{\times}$ は準同型で、 $diag (a, 1, \dots, 1)$ の行列式が $a$ なので全射です。核が $S L_{n} (F_{q})$ なので、各値 $a \in F_{q}^{\times}$ の逆像はどれも $S L_{n}$ の剰余類で同じ個数になり、 $∣ S L_{n} (F_{q}) ∣ = ∣ G L_{n} (F_{q}) ∣/ (q - 1)$ です。 $n = 2$ では $∣ S L_{2} (F_{q}) ∣ = (q^{2} - 1) (q^{2} - q) / (q - 1) = q (q^{2} - 1)$ です。 $S L_{2} (F_{q})$ の中心は、 $(1011)$ と $(1101)$ の両方と可換という条件を書き下すとスカラー行列 $λ I$ に限られ、 $det (λ I) = λ^{2} = 1$ より $λ = \pm 1$ です。 $q$ が奇数なら $1 \neq = - 1$ で $2$ 個、 $q$ が偶数（標数 $2$ ）なら $1 = - 1$ で $1$ 個、つまり $g cd (2, q - 1)$ 個です。よって $∣ P S L_{2} (F_{q}) ∣ = q (q^{2} - 1) / g cd (2, q - 1)$ となります。

位数の $p$ の部分を見るため、 $q^{n} - q^{i} = q^{i} (q^{n - i} - 1)$ と因数分解すると $∣ G L_{n} (F_{q}) ∣ = q^{0 + 1 + \dots + (n - 1)} \prod_{k = 1}^{n} (q^{k} - 1) = q^{n (n - 1) /2} \prod_{k = 1}^{n} (q^{k} - 1)$ です。 $q^{k} - 1 \equiv - 1 (mod p)$ なので後ろの積は $p$ で割れず、 $∣ G L_{n} ∣$ の $p$ の部分はちょうど $q^{n (n - 1) /2}$ です。一方、上三角ユニポテント行列の群 $U$ は対角より上の $n (n - 1) /2$ 個の成分を自由に選べるので $∣ U ∣ = q^{n (n - 1) /2}$ となり、 $U$ はシロー $p$ 部分群です（ $S L_{n}$ の位数も $p$ の部分は同じで、 $U \subset S L_{n}$ なので $S L_{n}$ でもシロー $p$ 部分群）。

手順

$q = p^{f}$ と $n$ を確認し、 $∣ G L_{n} (F_{q}) ∣ = \prod_{i = 0}^{n - 1} (q^{n} - q^{i})$ を計算する。必要なら $∣ S L_{n} ∣ = ∣ G L_{n} ∣/ (q - 1)$ 、 $∣ P S L_{2} ∣ = q (q^{2} - 1) / g cd (2, q - 1)$ に直す
位数を $q^{n (n - 1) /2} \prod_{k = 1}^{n} (q^{k} - 1)$ と分け、素因数分解して $p$ の部分 $q^{n (n - 1) /2}$ と残り $m$ を読み取る
上三角ユニポテント行列の群 $U$ （位数 $q^{n (n - 1) /2}$ ）を 1 つのシロー $p$ 部分群としてとる
$n_{p} = [G : N_{G} (U)]$ を使う。 $n = 2$ なら $N_{G} (U)$ は上三角行列全体 $B$ で、 $∣ B ∣ = (q - 1)^{2} q$ （ $G = G L_{2}$ のとき）なので $n_{p} = q + 1$ （ $U$ は $F_{q}^{2}$ の直線 $⟨ e_{1} ⟩$ だけを固定することから）
$n_{p} \equiv 1 (mod p)$ 、 $n_{p} ∣ m$ を満たしているか検算する
位数 $p$ の元を数えるときは、各シロー部分群に含まれる単位元以外の元の個数と、異なるシロー部分群の共通部分（ $n = 2$ なら単位元のみ）を考えて掛け合わせる

例題

$G = G L_{2} (F_{5})$ のシロー $5$ 部分群の個数 $n_{5}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $q = 5$ , $n = 2$ なので $∣ G ∣ = (5^{2} - 1) (5^{2} - 5) = 24 \cdot 20 = 480$ 。

手順 2: $480 = 5^{1} \cdot (5 - 1) (5^{2} - 1) = 5 \cdot 96 = 2^{5} \cdot 3 \cdot 5$ 。 $5$ の部分は $5^{2 \cdot 1/2} = 5$ 、残りは $m = 96$ 。

手順 3: $U = {(10 b 1) b \in F_{5}}$ は位数 $5$ なのでシロー $5$ 部分群。

手順 4: 正規化群を求める。上三角行列全体 $B$ の元で $U$ を共役しても、対角成分 $1$ の上三角行列のままなので $B \subset N_{G} (U)$ 。逆に $g \in N_{G} (U)$ とする。 $U$ の単位元以外の元 $u$ が固定するベクトルは $⟨ e_{1} ⟩$ の元だけ（ $(u - I) x = 0 ⟺ b x_{2} = 0 ⟺ x_{2} = 0$ ）。 $g u g^{- 1} \in U$ なので $g u g^{- 1} (g e_{1}) = g e_{1}$ となり $g e_{1} \in ⟨ e_{1} ⟩$ 、つまり $g$ の $(2, 1)$ 成分は $0$ で $g \in B$ 。よって $N_{G} (U) = B$ 。 $B$ は対角成分が $F_{5}^{\times}$ から $4 \cdot 4$ 通り、右上が $5$ 通りで $∣ B ∣ = 80$ 。したがって $n_{5} = [G : B] = 480/80 = 6$ 。

手順 5: $6 \equiv 1 (mod 5)$ 、 $6 ∣ 96$ で、シローの定理の条件に合う。

答え: $6$

よくある誤り

$∣ G L_{n} (F_{q}) ∣$ を $(q^{n} - 1)^{n}$ や $q^{n^{2}} - 1$ としてしまう誤り。正しくは列を順に一次独立になるよう選ぶので $\prod_{i = 0}^{n - 1} (q^{n} - q^{i})$ 。例えば $∣ G L_{2} (F_{3}) ∣ = (9 - 1) (9 - 3) = 48$ で、 $(9 - 1)^{2} = 64$ ではない
$∣ P S L_{2} (F_{q}) ∣$ を求めるとき、 $S L_{2}$ の位数をさらに $q - 1$ で割ってしまう、または常に $2$ で割ってしまう誤り。正しくは中心 ${\pm I}$ の位数 $g cd (2, q - 1)$ で割る。 $q = 4$ なら $∣ P S L_{2} (F_{4}) ∣ = 4 \cdot 15/1 = 60$ で、 $30$ ではない
$q = p^{f}$ で $f \geq 2$ のとき、シロー $p$ 部分群の位数を $p^{n (n - 1) /2}$ としてしまう誤り。正しくは $q^{n (n - 1) /2} = p^{f n (n - 1) /2}$ 。例えば $G L_{2} (F_{4})$ のシロー $2$ 部分群は位数 $4$ で、 $n_{2} = q + 1 = 5$
位数 $p$ の元の個数を $n_{p} (p - 1)$ としてしまう誤り。シロー部分群が位数 $q$ のとき、 $n = 2$ では $U ≅ (F_{q}, +)$ の単位元以外 $q - 1$ 個がすべて位数 $p$ で、異なるシロー部分群は単位元でしか交わらないので $(q + 1) (q - 1) = q^{2} - 1$ 個。 $q = p$ のときに限り $n_{p} (p - 1)$ と一致する（例: $G L_{2} (F_{3})$ で $4 \cdot 2 = 8$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$F_{7}$ を位数 $7$ の有限体とする。 $F_{7}$ を成分とする $2 \times 2$ 行列で行列式が $1$ であるもの全体のなす群 $S L_{2} (F_{7})$ の位数 $∣ S L_{2} (F_{7}) ∣$ を求めよ。

有限体上の行列群の位数

前提

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なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題