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群論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学群論

$V = (Z /7 Z)^{2}$ を加法群とし、 $V$ の自己同型 $D$ を
$D (x, y) = (2 x, 4 y) ((x, y) \in V)$
で定める（ $D^{3} = id$ である）。集合 $G = V \times Z /3 Z$ に演算
$(v, i) \cdot (w, j) = (v + D^{i} w, i + j)$
を入れて得られる位数 $147$ の群（半直積 $V ⋊_{D} Z /3 Z$ ）を考える。 $G$ の自己同型群 $Aut (G)$ （ $G$ から $G$ への群同型全体が写像の合成についてなす群）の位数を求めよ。

この問題で使うもの

半直積と作用の準同型（説明と入口の問題）
シローの定理とシロー部分群の個数（説明と入口の問題）
有限体上の行列群の位数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（33 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

シロー $7$ -部分群 $P$ が特性部分群であることを使い、自己同型を $P$ への制限 $A \in G L_{2} (F_{7})$ と生成元 $t$ の像 $p t^{k}$ の組で表してみよ。

ヒント 2

関係式 $t v t^{- 1} = D v$ と $t^{3} = 1$ が保たれる条件は $A D = D^{k} A$ と $(I + D^{k} + D^{2 k}) p = 0$ である。

ヒント 3

$k = 1$ では $A$ は対角行列、 $k = 2$ では $A$ は反対角行列になり、 $A$ は合わせて $72$ 通り。残るは $p$ の個数である。

答えと解説

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3528

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解説を読む

$P = {(v, 0) ∣ v \in V} ≅ V$ 、 $t = (0, 1)$ とおく。 $G$ は $P$ と $t$ で生成され、基本関係は
$P は位数 49 の基本可換群, t^{3} = 1, t v t^{- 1} = D v (v \in P)$
である。

$P$ は特性部分群. $∣ G ∣ = 147 = 3 \cdot 7^{2}$ で、 $P$ は正規なシロー $7$ -部分群なので唯一のシロー $7$ -部分群であり、任意の自己同型で $P$ に移る。

自己同型の形. $φ \in Aut (G)$ に対し、 $φ ∣_{P} = A \in G L_{2} (F_{7})$ 、 $φ (t) = p t^{k}$ （ $p \in P$ , $k \in {0, 1, 2}$ ）と書ける。 $φ$ は全射なので $G / P ≅ Z /3 Z$ の生成元に移り $k \in {1, 2}$ 。 $P$ は可換なので $p t^{k}$ による $P$ 上の共役は $D^{k}$ である。関係 $t v t^{- 1} = D v$ を $φ$ で移すと $A (D v) = D^{k} A v$ 、すなわち
$A D = D^{k} A . (1)$
また $t^{3} = 1$ から
$(p t^{k})^{3} = p + D^{k} p + D^{2 k} p = (I + D^{k} + D^{2 k}) p = 0. (2)$
逆に $A \in G L_{2} (F_{7})$ , $k \in {1, 2}$ , $p \in P$ が $(1), (2)$ を満たせば、基本関係が保たれるので準同型 $φ$ が定まり、像は $P$ と $G / P$ の生成元に移る元を含むので全射、 $G$ は有限なので全単射である。また相異なる $(A, p, k)$ は相異なる自己同型を与える。

条件 (1) の解. $k = 1$ のとき $A D = D A$ 。 $D = diag (2, 4)$ は相異なる固有値をもつので $A$ は対角行列で、 $6 \cdot 6 = 36$ 通り。 $k = 2$ のとき $D^{2} = diag (4, 2)$ で、 $A D = D^{2} A$ は $A$ が $D$ の固有空間を入れ替えること、すなわち $A$ が反対角行列であることと同値で、 $36$ 通り。合わせて $72$ 通り。

条件 (2) の解. $D^{k}$ の対角成分は $2, 4$ の並べ替えで、 $1 + 2 + 4 = 7 \equiv 0$ より $I + D^{k} + D^{2 k} = O$ 。よって $p \in P$ は任意で $49$ 通り。

以上より
$∣ Aut (G) ∣ = 72 \cdot 49 = 3528.$
（検算： $D$ は固有値 $1$ をもたないので $Z (G) = 1$ 、 $∣ Inn (G) ∣ = 147$ で、 $3528/147 = 24 = 72/3$ となり、 $Out (G) ≅ N_{G L_{2} (7)} (⟨ D ⟩) / ⟨ D ⟩$ と整合する。）

別解

$V = L_{1} \oplus L_{2}$ （ $L_{1}$ は第1成分、 $L_{2}$ は第2成分）とする。 $D$ は $L_{1}$ 上で $2$ 倍、 $L_{2}$ 上で $4$ 倍であり、 $2$ も $4$ も $Z /7 Z$ で位数 3 の元で、 $4 = 2^{2}$ である。

$V$ は $G$ の位数 7² の正規 Sylow 7-部分群なので特性部分群である。よって、自己同型 $φ$ は $V$ への制限 $A = φ ∣_{V} \in G L_{2} (F_{7})$ と、生成元 $t = (0, 1)$ の像 $φ (t) = (u, k)$ で決まる。 $G / V ≅ Z /3 Z$ への誘導写像が同型でなければならないので $k \in {1, 2}$ である。

条件は次の2つ。
1. $φ (t) φ (v) φ (t)^{- 1} = φ (D v)$ 。 $V$ はアーベル群なので左辺は $D^{k} A v$ となり、条件は $D^{k} A = A D$ 。
2. $φ (t)^{3} = 1$ 。 $(u, k)^{3} = ((1 + D^{k} + D^{2 k}) u, 0)$ であり、 $D$ の固有値 $2, 4$ はともに 1 でない 3 乗根なので $1 + D + D^{2} = 0$ 。よって任意の $u \in V$ で成り立つ。

逆に、これらの条件を満たす $(A, u, k)$ は群準同型を与える。 $A$ が可逆で $k \neq = 0$ なので全単射となり、自己同型になる。

$k = 1$ のとき、 $A D = D A$ より $A$ は $D$ の固有空間を保つ。固有値 $2, 4$ は相異なるので $A$ は対角行列で、 $6 \cdot 6 = 36$ 通り。 $u$ は 49 通り。合計 $36 \cdot 49 = 1764$ 。

$k = 2$ のとき、 $D^{2} = diag (4, 2)$ である。 $A D = D^{2} A$ より、 $v \in L_{1}$ なら $D^{2} (A v) = A (2 v) = 2 A v$ となるので $A v$ は $D^{2}$ の固有値 2 の固有空間 $L_{2}$ に入る。同様に $A (L_{2}) = L_{1}$ 。つまり $A$ は反対角行列で 36 通り。 $u$ は 49 通りで、合計 1764。

よって $∣ Aut (G) ∣ = 1764 + 1764 = 3528$ 。

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