二面体群の共役類

正 $n$ 角形の二面体群 $D_{n}$ （位数 $2 n$ ）の元を回転 $r^{k}$ と鏡映 $s r^{k}$ で表し、 $sr s^{- 1} = r^{- 1}$ を使って、 $n$ の偶奇に応じた共役類の個数と各類の大きさを求められる

前提

対称群の共役類（大学数学代数学）

この技能までの道筋（24 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

約数の見つけ方（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
合同式（数学A 整数の性質）
群の位数と元の位数（大学数学代数学）
置換の巡回置換分解と位数（大学数学代数学）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
対称群の共役類（大学数学代数学）

説明

正 $n$ 角形の対称性全体がなす二面体群 $D_{n}$ （位数 $2 n$ ）の元を、回転 $r^{k}$ と鏡映 $s r^{k}$ の形にそろえて書きます。そのうえで、関係式 $sr s^{- 1} = r^{- 1}$ だけを使って、どの元どうしが共役になるかを調べます。こうして共役類の個数と各類の大きさが、 $n$ の偶奇に応じて求まります。類等式の確認、正規部分群の判定、指標表を作る前の準備などで使います。

なぜそうしてよいのか

群 $G$ の元 $g, h$ が共役であるとは、ある $x \in G$ で $h = xg x^{- 1}$ となることでした。対称群のときと同じく、共役類とは「 $x$ を $G$ 全体で動かしたときの $xg x^{- 1}$ の集まり」です。 $D_{n}$ は $r$ （ $2 π / n$ 回転、位数 $n$ ）と $s$ （鏡映、位数 $2$ ）で生成され、元は $r^{k}, s r^{k} (0 \leq k \leq n - 1)$ のちょうど $2 n$ 個です。関係式 $sr s^{- 1} = r^{- 1}$ を $k$ 乗すると $s r^{k} s^{- 1} = (sr s^{- 1})^{k} = r^{- k}$ です。 $s^{- 1} = s$ なので、これは $r^{k} s = s r^{- k}$ （ $s$ を左へ動かすと回転の向きが逆になる）とも書けます。また $(s r^{k})^{2} = s r^{k} s r^{k} = r^{- k} r^{k} = e$ なので、鏡映はどれも自分自身が逆元です。

この規則で $x = r^{j}$ と $x = s r^{j}$ の両方による共役を計算すると、次のようになります。
- 回転: $r^{j} r^{k} r^{- j} = r^{k}$ 、 $(s r^{j}) r^{k} (s r^{j})^{- 1} = s r^{j} s^{- 1} \cdot s r^{k} s^{- 1} \cdot s r^{- j} s^{- 1} = r^{- j} r^{- k} r^{j} = r^{- k}$ 。したがって $r^{k}$ の類は ${r^{k}, r^{- k}}$ です。
- 鏡映: $r^{j} (s r^{k}) r^{- j} = s r^{- j} r^{k} r^{- j} = s r^{k - 2 j}$ 、 $(s r^{j}) (s r^{k}) (s r^{j}) = s r^{j} s r^{k} s r^{j} = r^{- j} r^{k} s r^{j} = s r^{j - k} r^{j} = s r^{2 j - k}$ 。 $2 j - k = k + 2 (j - k)$ なので、どちらも「添字 $k$ に偶数を足した」形です。したがって $s r^{k}$ の類は ${s r^{k + 2 m} ∣ m \in Z}$ （添字は $n$ を法として考える）です。

ここで $n$ の偶奇が効いてきます。 $n$ が奇数なら $2$ と $n$ は互いに素なので、 $k + 2 m$ は $n$ を法としてすべての剰余類を動き、鏡映 $n$ 個が 1 つの類にまとまります。 $n$ が偶数なら $n$ を法としても偶奇は変わらないので、添字が偶数の鏡映と奇数の鏡映の 2 類に分かれ、それぞれ $n /2$ 個です。図形で言えば、 $n$ が偶数のときは「頂点どうしを通る軸の鏡映」と「辺の中点どうしを通る軸の鏡映」が別の類になります。回転のほうは、 $r^{k} = r^{- k}$ 、つまり $2 k \equiv 0 (mod n)$ となる $k$ だけが 1 元の類です。これは $k = 0$ と、 $n$ が偶数のときの $k = n /2$ に限られます。

手順

元を $r^{k}, s r^{k} (0 \leq k \leq n - 1)$ の形に書き、 $r^{n} = s^{2} = e$ と、 $sr s^{- 1} = r^{- 1}$ から導いた $s r^{k} s^{- 1} = r^{- k}$ （すなわち $r^{k} s = s r^{- k}$ ）を用意する。
回転の類を決める。 $r^{k}$ の類は ${r^{k}, r^{- k}}$ 。 $2 k \equiv 0 (mod n)$ のときだけ大きさ $1$ 、それ以外は大きさ $2$ 。
鏡映の類を決める。共役で $s r^{k} \mapsto s r^{k - 2 j}, s r^{2 j - k}$ となり、添字は $n$ を法として偶数ずつしか変わらない。
$n$ の偶奇で分ける。 $n$ が奇数なら鏡映は大きさ $n$ の 1 類。 $n$ が偶数なら ${s r^{偶}}$ と ${s r^{奇}}$ の大きさ $n /2$ の 2 類。
類を数え、大きさの合計が $2 n$ になることを確かめる。奇数のとき $1 + \frac{n - 1}{2} + 1 = \frac{n + 3}{2}$ 類、偶数のとき $2 + \frac{n - 2}{2} + 2 = \frac{n}{2} + 3$ 類になる。

例題

正六角形の二面体群 $D_{6}$ （位数 $12$ ）の共役類の個数を求めよ。

例題の解答

手順1: 元は $r^{k}, s r^{k} (0 \leq k \leq 5)$ で、 $r^{6} = s^{2} = e$ 、 $s r^{k} s^{- 1} = r^{- k}$ が成り立つ。
手順2: 回転を調べる。 $r^{k}$ の類は ${r^{k}, r^{- k}} = {r^{k}, r^{6 - k}}$ である。 $2 k \equiv 0 (mod 6)$ となるのは $k = 0, 3$ なので、 ${e}$ と ${r^{3}}$ は大きさ $1$ の類になる。残りは ${r, r^{5}}$ と ${r^{2}, r^{4}}$ で、大きさ $2$ の類が 2 個。回転からは 4 類が出る。
手順3: 鏡映 $s r^{k}$ を共役すると $s r^{k - 2 j}$ や $s r^{2 j - k}$ になり、添字は $6$ を法として偶数ずつしか変わらない。
手順4: $n = 6$ は偶数なので、鏡映は ${s, s r^{2}, s r^{4}}$ と ${sr, s r^{3}, s r^{5}}$ の 2 類（各 $3$ 個）に分かれる。
手順5: 合計 $4 + 2 = 6$ 類。大きさの和は $1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 12$ で位数と一致する。公式 $\frac{6}{2} + 3 = 6$ とも合う。

答え: $6$

よくある誤り

$s$ と $r$ が可換だと思い込み、 $s r^{k} s^{- 1} = r^{k}$ として回転をすべて大きさ $1$ の類にしてしまう誤り。正しくは $s r^{k} s^{- 1} = r^{- k}$ で、 $r^{k}$ の類は ${r^{k}, r^{- k}}$ （例: $D_{5}$ では ${r, r^{4}}$ ）。
$n$ が偶数のときも鏡映を 1 類にまとめてしまう誤り。共役で添字は $k \mapsto k - 2 j, 2 j - k$ と偶数ずつしか変わらないので、偶数の $n$ では偶奇が保たれ、大きさ $n /2$ の 2 類に分かれる（例: $D_{4}$ では ${s, s r^{2}}$ と ${sr, s r^{3}}$ ）。
$n$ が偶数のとき $r^{n /2}$ を誰かと組にしてしまう誤り。 $r^{n /2} = r^{- n /2}$ なので ${r^{n /2}}$ は単独の類になる。回転の類は ${e}, {r^{n /2}}$ と、大きさ $2$ の類 $\frac{n - 2}{2}$ 個である。
頂点の置換として $S_{n}$ で巡回型が同じなら $D_{n}$ でも共役だとしてしまう誤り。共役に使える $x$ は $D_{n}$ の元に限られる。例えば $D_{5}$ の $r$ と $r^{2}$ はどちらも 5-巡回置換で $S_{5}$ では共役だが、 $D_{5}$ では $r^{2}$ の類は ${r^{2}, r^{3}}$ で、 $r$ とは共役でない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

既約表現の個数と次元（大学院数学表現論）
小さい非可換群の部分群の数え上げ（大学院数学体論・ガロア理論）
軌道・固定部分群の公式と類等式（大学院数学群論）