代数学の問題

準備：基本の関係式

$sr{s}^{-1}=r^{-1}$ より $sr=r^{-1}s$ です。これをくり返し使うと、すべての整数 $j$ について $r^{j}s=s{r}^{-j}$ が成り立ちます。また $s^{-1}=s$、$(s{r}^j{)}^{-1}=r^{-j}{s}^{-1}=r^{-j}s=s{r}^j$ です。

手順 1：回転 $r^k$ の共役類

回転 $r^j$ で共役をとると、回転どうしは可換なので
$$r^j{r}^k{r}^{-j}=r^k.$$
鏡映 $s{r}^j$ で共役をとると
$$(s{r}^j)r^k(s{r}^j{)}^{-1}=s{r}^j{r}^k{r}^{-j}{s}^{-1}=s{r}^k{s}^{-1}=(sr{s}^{-1}{)}^k=r^{-k}.$$
よって $r^k$ の共役類は $\{r^k,r^{-k}\}$ です。$n=10$ では
- $r^0=e$ と $r^5$ は $r^{-k}=r^k$ となるので、それぞれ大きさ $1$ の類：$\{e\},\{r^5\}$
- $k=1,2,3,4$ については $\{r,r^9\},\{r^2,r^8\},\{r^3,r^7\},\{r^4,r^6\}$ の大きさ $2$ の類が $4$ 個

回転からできる類は $1+1+4=6$ 個です。

手順 2：鏡映 $s{r}^k$ の共役類

回転 $r^j$ で共役をとると
$$r^j(s{r}^k)r^{-j}=(r^{j}s)r^{k-j}=s{r}^{-j}{r}^{k-j}=s{r}^{k-2j}.$$
$s$ で共役をとると
$$s(s{r}^k)s^{-1}=r^{k}s=s{r}^{-k}.$$
指数は $k-2j$ または $-k$（を $10$ で割った余り）に変わりますが、$10$ が偶数なので、指数の偶奇は変わりません。また $j$ を動かすと $k-2j$ は $k$ と同じ偶奇の値をすべてとります。したがって鏡映は
$$\{s,s{r}^2,s{r}^4,s{r}^6,s{r}^8\},\{sr,s{r}^3,s{r}^5,s{r}^7,s{r}^9\}$$
の大きさ $5$ の $2$ 個の類に分かれます。

確認：類の大きさの和は $1+1+2\times 4+5+5=20$ で、群の位数と一致します。

結論：共役類の個数は $6+2=8$ です。（一般に $n$ が偶数のとき $\frac{n+6}{2}$ 個で、$n=10$ のとき $8$ 個です。）

$D_n$（位数 $2n$）で $n=10$ が偶数の場合の共役類を数える。

共役の計算: $s{r}^k{s}^{-1}=r^{-k}$ なので、$r^k$ の共役類は $\{r^k,r^{-k}\}$ である。$r$ との共役では $r^k$ は変わらない。
- $k=0$ と $k=5$（$r^5=r^{-5}$）は中心元で、それぞれ 1 元の共役類になる。これで 2 個。
- $k=1,\dots ,4$ では $\{r^k,r^{-k}\}$ が 2 元の共役類になる。これで 4 個。

反射 $s{r}^k$ について:
- $r(s{r}^k)r^{-1}=s{r}^{-1}{r}^k{r}^{-1}=s{r}^{k-2}$ より、$k$ は 2 ずつ変わる。
- $s(s{r}^k)s^{-1}=r^k{s}^{-1}=r^{k}s=s{r}^{-k}$ より、$k\to -k$ となる。ただし $-k\equiv k(\mathrm{mod}2)$ なので偶奇は変わらない。
- よって共役類は $k$ の偶奇で分かれる。$\{s{r}^k:k\text{ 偶数}\}$ と $\{s{r}^k:k\text{ 奇数}\}$ の 2 個で、各 5 元である。

合計: $2+4+2=8$ 個。

検算: 元の個数は $1+1+4\cdot 2+5+5=20$ で位数と一致する。また、公式 $(n+6)/2=8$（$n$ 偶数）とも一致する。