代数学の問題

$G=D_9$ の元は回転 $r^j(0\le j\le 8)$ と鏡映 $s{r}^j(0\le j\le 8)$ の $18$ 個である。

共役の計算. 関係式 $sr{s}^{-1}=r^{-1}$ から $s{r}^j{s}^{-1}=r^{-j}$ であり、また $s{r}^{j}s=r^{-j}$ より $r^{j}s=s{r}^{-j}$ が成り立つ。これを使うと
$$r(s{r}^j)r^{-1}=s{r}^{-1}{r}^j{r}^{-1}=s{r}^{j-2},s(s{r}^j)s^{-1}=r^{j}s=s{r}^{-j}.$$

回転の共役類. $r^j$ を回転で共役にしても変わらず（回転どうしは可換）、鏡映で共役にすると $r^{-j}$ になる。よって $r^j$ の共役類は $\{r^j,r^{-j}\}$。$9$ は奇数なので $j\ne 0$ のとき $r^j\ne r^{-j}$ であり、回転の共役類は
$$\{e\},\{r,r^8\},\{r^2,r^7\},\{r^3,r^6\},\{r^4,r^5\}$$
の $5$ 個。

鏡映の共役類. $r$ による共役で $s{r}^j\mapsto s{r}^{j-2}$ となる。$9$ は奇数なので $\gcd (2,9)=1$ であり、$j,j-2,j-4,\dots$ を $9$ を法として見ると $0$ から $8$ までのすべての値をとる。よって $9$ 個の鏡映はすべて互いに共役で、$1$ つの共役類をなす。$s=s{r}^0$ はこの共役類に属するので $c=9$。

（別解）$s$ の中心化群は $\{e,s\}$ である（$r^j$ が $s$ と可換なら $r^j=r^{-j}$ より $r^{2j}=e$ で、$9$ が奇数なので $j\equiv 0$。また $s{r}^j$ が $s$ と可換なら $r^j$ も可換となり同様に $j\equiv 0$）。よって $c=18/2=9$。

まとめ. 共役類は回転の $5$ 個と鏡映の $1$ 個で $k=6$（大きさの合計 $1+2\cdot 4+9=18$ で確認できる）。よって $(k,c)=(6,9)$。

$n=9$ は奇数。回転 $r^k$ は $r^{-k}$ とだけ共役で、類は $\{e\}$, $\{r^{\pm 1}\}$, $\{r^{\pm 2}\}$, $\{r^{\pm 3}\}$, $\{r^{\pm 4}\}$ の 5 個。$n$ が奇数なので反転 $r^{j}s$ はすべて互いに共役（$rs{r}^{-1}=r^{2}s$ で 2 が 9 を法として可逆）で 1 個の類をなし、元の個数は 9。よって $k=5+1=6$, $c=9$。答えは $(6,9)$。