代数学の問題

準備. 関係式 $sr{s}^{-1}=r^{-1}$ と $s^{-1}=s$ から $s{r}^k{s}^{-1}=r^{-k}$ が成り立つ。両辺に右から $s$ を掛けると $s{r}^k=r^{-k}s$ となり、$k$ を $-k$ に置き換えると $r^{k}s=s{r}^{-k}$ も得られる。

回転 $r^k$ の共役類. 共役をとる元は $r^j$ と $s{r}^j$ の形のどちらかである。
- $r^j{r}^k{r}^{-j}=r^k$
- $(s{r}^j)r^k(s{r}^j{)}^{-1}=s{r}^j{r}^k{r}^{-j}{s}^{-1}=s{r}^k{s}^{-1}=r^{-k}$

したがって $r^k$ の共役類は $\{r^k,r^{-k}\}$ である。$r^k=r^{-k}$ となるのは $r^{2k}=e$、つまり $2k\equiv 0(\mathrm{mod}10)$ のとき、すなわち $k=0,5$ のときだけである。よって回転の共役類は
$$\{e\},\{r^5\},\{r,r^9\},\{r^2,r^8\},\{r^3,r^7\},\{r^4,r^6\}$$
であり、大きさ $1$ のものが $2$ 個、大きさ $2$ のものが $4$ 個ある。

鏡映 $s{r}^k$ の共役類.
- $r^j(s{r}^k)r^{-j}=(r^{j}s)r^k{r}^{-j}=s{r}^{-j}{r}^k{r}^{-j}=s{r}^{k-2j}$
- $s(s{r}^k)s^{-1}=r^{k}s=s{r}^{-k}$

指数は $k-2j$ または $-k-2j$ の形であり、$n=10$ は偶数なので、$(\mathrm{mod}10)$ で $k$ と偶奇が同じ指数がすべて現れ、偶奇の異なる指数は現れない。よって鏡映の共役類は
$$\{s,s{r}^2,s{r}^4,s{r}^6,s{r}^8\},\{sr,s{r}^3,s{r}^5,s{r}^7,s{r}^9\}$$
の $2$ 個で、どちらも大きさは $5$ である。

確認. 共役類は全部で $2+4+2=8$ 個あり、元の個数の合計は $1+1+2\cdot 4+5+5=20$ で、群の位数と一致する。

以上より、ちょうど $2$ 個の元からなる共役類は $\{r^k,r^{-k}\}(k=1,2,3,4)$ の $4$ 個である。

$D_{10}$（位数20）の共役類を求める。

回転 $r^k$ について、$r$ による共役は $r^k$ を変えず、$s$ による共役は $s{r}^k{s}^{-1}=r^{-k}$ である。よって $r^k$ の共役類は $\{r^k,r^{-k}\}$ となる。
- $k=0$ と $k=5$ では $r^k=r^{-k}$ なので、共役類は1元からなる（$\{e\}$, $\{r^5\}$）。
- $k=1,2,3,4$ では $r^k\ne r^{-k}$ なので、共役類は2元からなる。$\{r,r^9\},\{r^2,r^8\},\{r^3,r^7\},\{r^4,r^6\}$ の4個である。

鏡映 $s{r}^k$ について、$r$ による共役は $r(s{r}^k)r^{-1}=s{r}^{-1}{r}^k{r}^{-1}=s{r}^{k-2}$ となる。$s$ による共役は $s(s{r}^k)s^{-1}=r^{k}s=s{r}^{-k}$ となる。
- 添字は $k\to k-2$ で動くので、偶数の添字と奇数の添字に分かれる。
- $s$ による共役 $k\to -k$ は偶奇を保つ。
- したがって共役類は $\{s{r}^k:k\text{ 偶数}\}$ と $\{s{r}^k:k\text{ 奇数}\}$ の2個で、それぞれ10元からなる。

検算として、元の個数は $1+1+4\cdot 2+10+10=20$ となり、位数と一致する。クラス数は $2+4+2=8$ で、$D_n$（$n=10$ は偶数）のクラス数 $n/2+3=8$ とも一致する。

ちょうど2個の元からなる共役類は4個である。