代数学の問題

$G=D_{12}$ とおく。$G$ の元は $r^k(0\le k\le 11)$ と $s{r}^k(0\le k\le 11)$ の $24$ 個である。

数え方. $x$ を固定すると、$xy=yx$ を満たす $y$ は $x$ の中心化群 $C_G(x)$ の元なので、求める個数は
$$N=\sum _{x\in G}|C_G(x)|$$
である。軌道・固定群の関係より $x$ の共役類 $\mathcal{C}$ について $|\mathcal{C}|\cdot |C_G(x)|=|G|$ なので、各共役類からの寄与は $|\mathcal{C}|\cdot \frac{|G|}{|\mathcal{C}|}=|G|$ となる。よって $G$ の共役類の個数を $k$ とすると $N=k|G|$ である。

共役類の決定. 関係式から $s{r}^k{s}^{-1}=r^{-k}$, $r(s{r}^k)r^{-1}=s{r}^{k-2}$, $s(s{r}^k)s^{-1}=s{r}^{-k}$ が成り立つ。
- 回転: $r^k$ と共役なのは $r^{\pm k}$ のみ。$r^0=e$ と $r^6$（$r^6=r^{-6}$）はそれぞれ 1 個で 1 つの共役類、$\{r^k,r^{-k}\}(k=1,2,3,4,5)$ が 5 つの共役類。合計 $7$ 個。
- 鏡映: $s{r}^k$ を $r$ で共役にすると添字が $2$ ずつずれ、$s$ で共役にすると $-k$ になる。$12$ は偶数なので添字の偶奇は保たれ、$\{s{r}^k\mid k\text{ は偶数}\}$ と $\{s{r}^k\mid k\text{ は奇数}\}$ の $2$ つの共役類（各 $6$ 個）に分かれる。

よって $k=7+2=9$ であり、
$$N=9\times 24=216.$$

（検算）中心化群から直接数える.
- $x=e,r^6$: $r^6$ は中心の元なので $|C_G(x)|=24$。寄与 $2\times 24=48$。
- $x=r^k(k\ne 0,6)$ の $10$ 個: $C_G(x)=⟨r⟩$（位数 $12$）。寄与 $10\times 12=120$。
- $x=s{r}^k$ の $12$ 個: $C_G(x)=\{e,r^6,s{r}^k,s{r}^{k+6}\}$（位数 $4$）。寄与 $12\times 4=48$。

合計 $48+120+48=216$ で一致する。

有限群 $G$ の可換な順序対 $(x,y)$ の個数は ${\sum }_{x\in G}|C_G(x)|=|G|\cdot k(G)$（$k(G)$ は共役類の個数）。

$D_{12}$（位数 $24$、$n=12$ 偶数）の共役類:
- 中心の元 $e$, $r^6$: 各 $1$ 元で $2$ 類
- $\{r^k,r^{-k}\}$（$k=1,\dots ,5$）: $5$ 類
- 反射は $r^{\text{偶}}s$ の $6$ 個と $r^{\text{奇}}s$ の $6$ 個の $2$ 類

合計 $k(G)=2+5+2=9$。個数は $24\cdot 9=216$。

検算: 中心化群の位数の和は $2\cdot 24+10\cdot 12+12\cdot 4=48+120+48=216$（$r^k$ $k\ne 0,6$ の 10 元は $C=⟨r⟩$ で位数 $12$、反射 $12$ 個は $C=\{e,r^6,s^{\prime },r^6{s}^{\prime }\}$ で位数 $4$）。