代数学の問題

回転全体のなす部分群を $R=⟨r⟩$ とする。$R$ は位数 $12$ の巡回群であり、$D_{12}$ における指数は $2$ である。指数 $2$ の部分群なので $R$ は正規部分群である。また、関係式 $sr{s}^{-1}=r^{-1}$ から $s{r}^b=r^{-b}s$（$b$ は整数）が成り立つ。$r$ の指数は $12$ を法として考えてよい。

$D_{12}$ の部分群 $H$ を、$H\subset R$ かどうかで分けて数える。

(1) $H\subset R$ のとき。 位数 $12$ の巡回群の部分群は、$12$ の各正の約数 $k$ に対する $⟨r^k⟩$（位数 $12/k$）でちょうど $1$ つずつある。$12$ の正の約数は $1,2,3,4,6,12$ の $6$ 個なので、このような $H$ は $6$ 個ある。

(2) $H\not\subset R$ のとき。 このとき $H$ は鏡映 $r^{i}s$ を少なくとも $1$ つ含む。$H\cap R$ は $R$ の部分群なので、$12$ のある正の約数 $k$ を用いて $H\cap R=⟨r^k⟩$ と書ける。

$R$ は正規部分群なので $HR$ は $R$ を真に含む部分群であり、$[D_{12}:R]=2$ より $HR=D_{12}$ である。第二同型定理より $H/(H\cap R)\cong HR/R$ であり、その位数は $2$ だから $[H:H\cap R]=2$ となる。よって、$r^{i}s\in H$ を $1$ つ取ると
$$H=⟨r^k⟩\cup ⟨r^k⟩r^{i}s=\{r^a\mid a\equiv 0(\mathrm{mod}k)\}\cup \{r^{a}s\mid a\equiv i(\mathrm{mod}k)\}$$
となる。

逆に、$12$ の正の約数 $k$ と整数 $i$ に対して、集合
$$H_{k,i}=\{r^a\mid a\equiv 0(\mathrm{mod}k)\}\cup \{r^{a}s\mid a\equiv i(\mathrm{mod}k)\}$$
が部分群になることを確かめる（$k$ は $12$ の約数なので、$12$ を法とした指数について $k$ を法とする合同は矛盾なく定まる）。有限群の空でない部分集合は、積について閉じていれば部分群である。$H_{k,i}$ の $2$ つの元の積は次の $4$ 型である。
- $a\equiv 0,b\equiv 0$ のとき、$r^a{r}^b=r^{a+b}$ で、$a+b\equiv 0(\mathrm{mod}k)$。
- $a\equiv 0,b\equiv i$ のとき、$r^a(r^{b}s)=r^{a+b}s$ で、$a+b\equiv i(\mathrm{mod}k)$。
- $a\equiv i,b\equiv 0$ のとき、$(r^{a}s)r^b=r^a{r}^{-b}s=r^{a-b}s$ で、$a-b\equiv i(\mathrm{mod}k)$。
- $a\equiv i,b\equiv i$ のとき、$(r^{a}s)(r^{b}s)=r^a{r}^{-b}{s}^2=r^{a-b}$ で、$a\equiv b(\mathrm{mod}k)$ より $a-b\equiv 0(\mathrm{mod}k)$。

いずれの積も $H_{k,i}$ に入るので、$H_{k,i}$ は積について閉じており、部分群である。

$H_{k,i}$ は $k$ と「$i\mathrm{mod}k$」だけで決まる。また、$k$ は $H_{k,i}\cap R=⟨r^k⟩$ から、$i\mathrm{mod}k$ は $H_{k,i}$ に含まれる鏡映の集合から読み取れるので、組 $(k,i\mathrm{mod}k)$ が異なれば部分群も異なる。よって、各 $k$ に対してこの型の部分群はちょうど $k$ 個ある。その総数は $12$ の正の約数の和であり、
$$1+2+3+4+6+12=28$$
個である。

(3) まとめ。 (1) と (2) を合わせて、部分群の個数は
$$6+28=34$$
である。

（参考：同じ議論により、位数 $2n$ の二面体群の部分群の個数は $\tau (n)+\sigma (n)$ である。ここで $\tau (n)$ は $n$ の正の約数の個数、$\sigma (n)$ は $n$ の正の約数の和である。$n=3$ のときは $2+4=6$ となり、$S_3$ の部分群の個数 $6$ と一致する。）

$D_{12}$ の部分群は、回転だけからなるものと、反射を含むものに分けて数える。

1. 回転だけからなる部分群は、巡回群 $⟨r⟩$ の部分群である。位数 $12$ の巡回群の部分群は、$12$ の約数 $d$ ごとに $⟨r^d⟩$ がちょうど 1 つ対応する。$12$ の約数は $1,2,3,4,6,12$ の 6 個なので、この型の部分群は $\tau (12)=6$ 個である。

2. 反射 $r^{i}s$ を含む部分群 $H$ を考える。$H\cap ⟨r⟩=⟨r^d⟩$（$d\mid 12$）とおくと、$H=⟨r^d,r^{i}s⟩$ と書ける。$H$ に含まれる反射は $r^{i+kd}s$ の形のものだけなので、$i$ は $\mathrm{mod}d$ で決まる。したがって各 $d$ について部分群は $d$ 個ある。

3. 反射を含む部分群の個数は ${\sum }_{d\mid 12}d=1+2+3+4+6+12=28$ である。

4. 合計は $6+28=34$ である。

検算として $n=3$ の場合（$D_3\cong S_3$）に同じ公式 $\tau (n)+\sigma (n)$ を使うと $2+4=6$ となり、$S_3$ の部分群の個数 $6$ と一致する。

よって、部分群の個数は $34$ である。