代数学の問題

元の表し方と基本の関係式

$D_{10}$ の元は、回転 $r^k$ と鏡映 $s{r}^k$（$k=0,1,\dots ,9$）の $20$ 個である。関係式 $sr{s}^{-1}=r^{-1}$ から $s{r}^k{s}^{-1}=(sr{s}^{-1}{)}^k=r^{-k}$ となり、右から $s$ を掛けると $s{r}^k=r^{-k}s$ が成り立つ。この式で $k=-j$ とおくと $s{r}^{-j}=r^{j}s$、すなわち $r^{j}s=s{r}^{-j}$ も得られる。また $s^{-1}=s$ である。

どの元も $r^j$ と $s$ の積で表せるので、共役を調べるには $r^j$ による共役と $s$ による共役を調べれば十分である。

(1) 回転 $r^k$ の共役類

• $r^j{r}^k{r}^{-j}=r^k$
• $s{r}^k{s}^{-1}=r^{-k}$

したがって $r^k$ の共役類は $\{r^k,r^{-k}\}$ である。

• $k=0$：$\{e\}$（$1$ 個）
• $k=5$：$r^{-5}=r^5$ なので $\{r^5\}$（$1$ 個）
• $k=1,2,3,4$：$\{r^k,r^{10-k}\}$ で、$r^k\ne r^{-k}$ なので元は $2$ 個。つまり $\{r,r^9\},\{r^2,r^8\},\{r^3,r^7\},\{r^4,r^6\}$ の $4$ 個の類

(2) 鏡映 $s{r}^k$ の共役類

$r^{j}s=s{r}^{-j}$ を使うと
$$r^j(s{r}^k)r^{-j}=(r^{j}s)r^{k-j}=s{r}^{-j}{r}^{k-j}=s{r}^{k-2j}.$$
また $s{r}^k=r^{-k}s$ を使うと
$$s(s{r}^k)s^{-1}=s^2{r}^{k}s=r^{k}s=s{r}^{-k}.$$
したがって $s{r}^k$ の共役は $s{r}^{k-2j}$、$s{r}^{-k-2j}$ の形の元である。$10$ は偶数なので、指数を $10$ で割った余りを考えても指数の偶奇は変わらない（$k-2j$ と $-k-2j$ はどちらも $k$ と偶奇が同じ）。逆に $j$ を $0,1,\dots ,4$ と動かせば、$k$ と偶奇が同じ指数はすべて現れる。よって鏡映は次の $2$ つの類に分かれる。

• $\{s,s{r}^2,s{r}^4,s{r}^6,s{r}^8\}$（$5$ 個）
• $\{sr,s{r}^3,s{r}^5,s{r}^7,s{r}^9\}$（$5$ 個）

まとめ

大きさ $1$ の類は $\{e\},\{r^5\}$ の $2$ 個、大きさ $2$ の類は $4$ 個、大きさ $5$ の類は $2$ 個である。検算として $2\cdot 1+4\cdot 2+2\cdot 5=20$ となり、群の位数に一致する。全部で $8$ 個の類がある。

答え：$(2,4,2)$

$D_{10}$ は位数 20 で、元は $r^k$（$k=0,\dots ,9$）と $s{r}^k$ である。$n=10$ は偶数なので次のようになる。

1. 回転 $r^k$ について、$s{r}^k{s}^{-1}=r^{-k}$ より、$r^k$ の共役類は $\{r^k,r^{-k}\}$ である。
- $k=0$ と $k=5$ は $r^k=r^{-k}$ なので、共役類は 1 元のみ。これは中心の元 $e,r^5$ に当たる。
- $k=1,2,3,4$ は $\{r,r^9\},\{r^2,r^8\},\{r^3,r^7\},\{r^4,r^6\}$ の 4 類で、各 2 元。

2. 鏡映 $s{r}^k$ について、$r(s{r}^k)r^{-1}=s{r}^{-1}{r}^k{r}^{-1}=s{r}^{k-2}$ より、$r$ による共役で添字が 2 ずつ動く。$s$ による共役では $s(s{r}^k)s^{-1}=r^k{s}^{-1}=r^{k}s=s{r}^{-k}$ となり、添字は $-k$ に移るが、偶奇は保たれる。したがって、共役類は $k$ の偶奇で分かれる。
- 偶数: $\{s,s{r}^2,s{r}^4,s{r}^6,s{r}^8\}$ で 5 元
- 奇数: $\{sr,s{r}^3,s{r}^5,s{r}^7,s{r}^9\}$ で 5 元

3. 検算: $1+1+4\cdot 2+2\cdot 5=2+8+10=20$ となり、位数と一致する。共役類の個数は 8 で、$n=10$ が偶数のとき $(n+6)/2=8$ とも合う。

よって、元の個数が 1, 2, 5 の類の個数はそれぞれ 2, 4, 2 である。