既約表現の個数と次元

$D_4$ を正方形の二面体群（位数 $8$）とし、$r$ を $\frac{\pi }{2}$ 回転、$s$ を鏡映として $D_4=\{e,r,r^2,r^3,s,sr,s{r}^2,s{r}^3\}$、$r^4=s^2=e$、$sr{s}^{-1}=r^{-1}$ と表す。$D_4$ の複素既約表現（同型類）の次元を、小さい順に重複も込めてすべて並べた組を求めよ。

$S_3$ を 3 次対称群、$C_4$ を位数 $4$ の巡回群とし、$G=S_3\times C_4$ とおく。$G$ の複素既約表現（同型類）のうち、次元がちょうど $2$ であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$G={\mathrm{SL}}_2({\mathbb{F}}_3)$（${\mathbb{F}}_3$ 成分で行列式が $1$ の $2$ 次正方行列全体のなす群、位数 $24$）とする。$G$ の複素既約表現の同型類すべてについて、その次元の和を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$G={\mathrm{GL}}_2({\mathbb{F}}_3)$（${\mathbb{F}}_3$ 成分の $2$ 次正則行列全体のなす群、位数 $48$）とする。正の整数 $d$ に対し、$G$ の複素既約表現の同型類のうち次元がちょうど $d$ であるものの個数を $a_d$ とおく。組 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$G=SL(2,{\mathbb{F}}_3)$（${\mathbb{F}}_3$ 成分で行列式が $1$ の $2\times 2$ 行列全体のなす群、位数 $24$）とする。$G$ の複素既約表現（同型類）の次元を小さい順に重複を込めてすべて並べた組 $(d_1,d_2,\dots ,d_r)$（$d_1\le d_2\le \cdots \le d_r$）を求めよ。

$G$ を位数 $21$ の非可換群とし、$g\in G$ を位数 $7$ の元とする。$\chi$ が $G$ の複素既約指標全体を動くとき、$\chi (g)$ のとりうる値の集合を求めよ。

表現・指標はすべて複素数体 $\mathbb{C}$ 上の有限次元のものとする。$G$ を有限群とし、$G^{\prime }$ をその交換子群とする。また
$$N=\#\{(x,y)\in G\times G\mid xy=yx\}$$
を、$G$ の可換な元の順序対の個数とする。このとき
$$4N\le |G|(|G|+3[G:G^{\prime }])$$
が成り立ち、さらに等号が成り立つための必要十分条件は「$G$ の次数が $1$ でない既約指標の次数がすべて $2$ であること」（そのような既約指標が存在しない場合も含む）であることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 有限群 $G$ の既約指標の個数は $G$ の共役類の個数に等しい。
- 既約指標の次数を $d_1,\dots ,d_k$ とすると ${\sum }_{i=1}^k{d}_i^2=|G|$ である。
- $G$ の次数 $1$ の指標の個数は $[G:G^{\prime }]$ に等しい。

${\mathbb{F}}_5$ を位数 $5$ の有限体とし、$G=G{L}_2({\mathbb{F}}_5)$（${\mathbb{F}}_5$ 成分の $2$ 次正則行列全体のなす群、位数 $480$）とする。$G$ の複素既約表現の同型類すべてについて、その次元の総和
$$\sum _{\rho }\dim \rho$$
を求めよ。