方程式 $z^{n} = a$ の解

極形式とド・モアブルの定理で $z^{n} = a$ の解をすべて求め、複素数平面上の正多角形として表せる

前提

ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）

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算数中学高校大学大学院

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加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）
ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）

説明

方程式 $z^{n} = a$ （ $n$ は 2 以上の自然数、 $a$ は 0 でない複素数）の解を、極形式とド・モアブルの定理を使ってすべて求められるようになります。解はちょうど $n$ 個あり、原点を中心とする 1 つの円の上に等間隔に並びます（ $n \geq 3$ なら正 $n$ 角形の頂点になります）。 $z^{3} = 8 i$ や $z^{4} = - 16$ のように、因数分解や解の公式では扱いにくい高次方程式を解くときに使います。

なぜそうしてよいのか

$a \neq = 0$ なので、 $z = 0$ は解ではありません。そこで解を $z = r (cos θ + i sin θ)$ （ $r > 0$ ）とおきます。ド・モアブルの定理より $z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$ です。右辺も $a = R (cos α + i sin α)$ （ $R = ∣ a ∣ > 0$ 、 $0 \leq α < 2 π$ ）と極形式で書きます。極形式で書いた 2 つの複素数が等しいのは、絶対値が等しく、偏角の差が $2 π$ の整数倍のときです。 $cos$ と $sin$ の値がどちらも一致する角どうしは、 $2 π$ の整数倍だけずれているからです。したがって $r^{n} = R$ かつ $n θ = α + 2 k π$ （ $k$ は整数）が成り立ちます。

$r > 0$ なので $r = n R$ です（正の実数 $R$ の正の $n$ 乗根で、ただ 1 つに決まります）。偏角は $θ = \frac{α}{n} + \frac{2 k π}{n}$ です。ここで $2 k π$ も $n$ で割られることが大切です。 $k = 0, 1, \dots, n - 1$ のとき、角は $\frac{α}{n}$ （ $0$ 以上 $\frac{2 π}{n}$ 未満）から始まって $\frac{2 π}{n}$ ずつ増え、すべて $0$ 以上 $2 π$ 未満に収まるので、 $n$ 個の異なる複素数が得られます。 $k = n$ にすると角は $k = 0$ のときよりちょうど $2 π$ 大きくなり、同じ点に戻ります。一般に、どの整数 $k$ も $n$ で割った余りが $0, 1, \dots, n - 1$ のどれかになり、角はその余りのときと $2 π$ の整数倍しか違わないので、新しい解は出てきません。こうして解はちょうど $n$ 個です。

図で見ると、解はすべて原点からの距離が $n R$ の円周上にあり、隣どうしの偏角の差は $\frac{2 π}{n}$ で一定です。円周を $n$ 等分する点なので、 $n \geq 3$ のときは原点を中心とする正 $n$ 角形の頂点になります（ $n = 2$ のときは原点に関して対称な 2 点です）。

手順

右辺 $a$ を極形式にする： $a = R (cos α + i sin α)$ （ $R = ∣ a ∣ > 0$ 、 $0 \leq α < 2 π$ ）
解を $z = r (cos θ + i sin θ)$ （ $r > 0$ ）とおき、ド・モアブルの定理で $z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$ と書く
絶対値と偏角を比べる： $r^{n} = R$ 、 $n θ = α + 2 k π$ （ $k$ は整数）
それぞれを解く： $r = n R$ 、 $θ = \frac{α}{n} + \frac{2 k π}{n}$
$k = 0, 1, \dots, n - 1$ を代入して $n$ 個の解を求め、必要なら $x + y i$ の形に直す（解は半径 $n R$ の円周を $n$ 等分する点になる）

例題

方程式 $z^{3} = 8 i$ の解をすべて求めよ。

例題の解答

手順1： $8 i$ は絶対値 $8$ 、偏角 $\frac{π}{2}$ なので $8 i = 8 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2})$ です。

手順2： $z = r (cos θ + i sin θ)$ （ $r > 0$ ）とおくと、ド・モアブルの定理より $z^{3} = r^{3} (cos 3 θ + i sin 3 θ)$ です。

手順3：絶対値と偏角を比べて、 $r^{3} = 8$ 、 $3 θ = \frac{π}{2} + 2 k π$ （ $k$ は整数）となります。

手順4： $r > 0$ より $r = 2$ です。また両辺を $3$ で割って $θ = \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}$ です。

手順5： $k = 0, 1, 2$ を代入します。
- $k = 0$ ： $θ = \frac{π}{6}$ で、 $z = 2 (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i) = 3 + i$
- $k = 1$ ： $θ = \frac{5 π}{6}$ で、 $z = 2 (- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i) = - 3 + i$
- $k = 2$ ： $θ = \frac{3 π}{2}$ で、 $z = 2 (0 - i) = - 2 i$

$k = 3$ とすると $θ = \frac{π}{6} + 2 π$ となり、 $k = 0$ と同じ解に戻ります。確かめとして、 $(- 2 i)^{3} = - 8 i^{3} = - 8 \cdot (- i) = 8 i$ です。よって解は $3 + i, - 3 + i, - 2 i$ の 3 つです。これらは半径 $2$ の円周上に $\frac{2 π}{3}$ ずつ離れて並び、原点を中心とする正三角形の頂点になっています。

答え: $3 + i, - 3 + i, - 2 i$

よくある誤り

偏角の比較で $2 k π$ を忘れ、 $3 θ = \frac{π}{2}$ から $z = 3 + i$ の 1 つだけを答えてしまう誤り。正しくは $3 θ = \frac{π}{2} + 2 k π$ として、 $k = 0, 1, 2$ の 3 つの解をすべて求める。
$2 k π$ を $n$ で割り忘れ、 $θ = \frac{π}{6} + 2 k π$ としてしまう誤り。これでは $k$ を変えても全部同じ点になる。正しくは両辺を $3$ で割って $θ = \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}$ 。
絶対値を $r = R$ や $r = \frac{R}{n}$ としてしまう誤り（例： $z^{3} = 8 i$ で $r = 8$ や $r = \frac{8}{3}$ ）。正しくは $r^{3} = 8$ を解いて $r = 38 = 2$ 。
$k$ を $0$ から $n$ まで（ $n + 1$ 個）代入して、同じ解を重ねて数えてしまう誤り。 $k = n$ のときの角は $k = 0$ のときより $2 π$ 大きいだけで同じ点なので、 $k = 0, 1, \dots, n - 1$ の $n$ 個で十分である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

$z^{n} = a$ の解を使った和と積（数学C 複素数平面）
最小分解体とガロア群の位数（大学数学代数学）
1 次元表現とアーベル化（大学院数学表現論）
二項多項式 $x^{p} - a$ の既約性（大学院数学体論・ガロア理論）
離散フーリエ変換（大学物理信号処理・通信工学）

方程式 zn=a の解

前提

説明