複素数平面の問題

右辺を極形式で表す。
$$|-8-8\sqrt{3}i|=\sqrt{64+192}=\sqrt{256}=16$$
であり、$-8-8\sqrt{3}i=16\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$ だから、偏角は $\frac{4}{3}\pi$ である。よって
$$-8-8\sqrt{3}i=16\left(\cos \frac{4}{3}\pi +i\sin \frac{4}{3}\pi \right)$$

解を $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ $(r>0,0\leqq \theta <2\pi )$ とおくと、ド・モアブルの定理より
$$z^4=r^4(\cos 4\theta +i\sin 4\theta )$$
となる。両辺の絶対値と偏角を比べて
$$r^4=16,4\theta =\frac{4}{3}\pi +2k\pi (k\text{ は整数})$$
$r>0$ より $r=2$。また $\theta =\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$ であり、$0\leqq \theta <2\pi$ より $k=0,1,2,3$ で
$$\theta =\frac{\pi }{3},\frac{5}{6}\pi ,\frac{4}{3}\pi ,\frac{11}{6}\pi$$

それぞれの解は
- $\theta =\frac{\pi }{3}$: $z=2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\sqrt{3}i$
- $\theta =\frac{5}{6}\pi$: $z=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=-\sqrt{3}+i$
- $\theta =\frac{4}{3}\pi$: $z=2\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-1-\sqrt{3}i$
- $\theta =\frac{11}{6}\pi$: $z=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=\sqrt{3}-i$

実部が正であるのは $1+\sqrt{3}i$ と $\sqrt{3}-i$ の 2 つである。その和は
$$(1+\sqrt{3}i)+(\sqrt{3}-i)=(1+\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)i$$

(確認: $(1+\sqrt{3}i{)}^2=-2+2\sqrt{3}i$ より $(1+\sqrt{3}i{)}^4=(-2+2\sqrt{3}i{)}^2=4-8\sqrt{3}i-12=-8-8\sqrt{3}i$ となり、確かに解である。)

右辺の絶対値は $\sqrt{64+192}=16$、偏角は $\cos \theta =-\frac{1}{2},\sin \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta =\frac{4\pi }{3}$。よって $-8-8\sqrt{3}i=16\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$。
$z=r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ とおくと $r^4=16$ より $r=2$、$4\alpha =\frac{4\pi }{3}+2k\pi$ より $\alpha =\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$ ($k=0,1,2,3$)。
$\alpha =60^{\circ },150^{\circ },240^{\circ },330^{\circ }$。実部が正なのは $60^{\circ }$ と $330^{\circ }$。
$z_1=2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\sqrt{3}i$、$z_2=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=\sqrt{3}-i$。
和は $(1+\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)i$。
検算: $(1+\sqrt{3}i)=2e^{i\pi /3}$ なので4乗は $16e^{i4\pi /3}=-8-8\sqrt{3}i$ で一致。$(\sqrt{3}-i)=2e^{-i\pi /6}$ の4乗は $16e^{-i2\pi /3}=-8-8\sqrt{3}i$ で一致。