複素数平面の問題

$|z|$ を求める。

$z^n=i$ の両辺の絶対値をとると $|z{|}^n=|i|=1$ である。$|z|\geqq 0$ だから $|z|=1$ となる。

実部と虚部が等しい解の候補を求める。

実部と虚部が等しい複素数は、実数 $t$ を用いて $z=t+ti$ と表せる。このとき $|z|=\sqrt{2}|t|=1$ より $t=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。よって候補は次の 2 つである。
$$z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}=\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4},z=-\frac{1+i}{\sqrt{2}}=\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}$$

(i) $z=\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$ のとき

ド・モアブルの定理より $z^n=\cos \frac{n\pi }{4}+i\sin \frac{n\pi }{4}$ である。また $i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$ である。$z^n=i$ となる条件は、整数 $k$ を用いて
$$\frac{n\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$$
と書けることである。両辺に $\frac{4}{\pi }$ を掛けると $n=2+8k$ となる。すなわち $n$ を $8$ で割った余りが $2$ であることが条件である。

(ii) $z=\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}$ のとき

$z^n=\cos \frac{5n\pi }{4}+i\sin \frac{5n\pi }{4}$ である。$z^n=i$ となる条件は、整数 $k$ を用いて
$$\frac{5n\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$$
と書けることである。両辺に $\frac{4}{\pi }$ を掛けると $5n=2+8k$ となる。すなわち $5n$ を $8$ で割った余りが $2$ であることが条件である。

$n$ を $8$ で割った余りを $r$（$r=0,1,\dots ,7$）とすると、$5n$ を $8$ で割った余りは $5r$ を $8$ で割った余りに等しい。各 $r$ について $5r$ を $8$ で割った余りを計算すると、順に $0,5,2,7,4,1,6,3$ となる。余りが $2$ になるのは $r=2$ のときだけである。したがって条件は (i) と同じく「$n$ を $8$ で割った余りが $2$」である。

$n$ を求める。

(i), (ii) より、求める条件は $n$ を $8$ で割った余りが $2$ であることである。$1\leqq n\leqq 30$ の範囲でこれを満たす $n$ は $2,10,18,26$ である。

確認

• $n=2$: $z^2=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$ である。
• $n=10$: $z^{10}=\cos \frac{5\pi }{2}+i\sin \frac{5\pi }{2}=i$ である。

よって答えは $n=2,10,18,26$ である。

$z^n=i$ より $|z|=1$ である。実部と虚部が等しい単位複素数は $z=e^{i\pi /4}$ または $z=e^{i5\pi /4}$ のいずれかで、$z=\pm \frac{1+i}{\sqrt{2}}$ である。

(1) $z=e^{i\pi /4}$ が解となる条件は $e^{in\pi /4}=i=e^{i\pi /2}$ である。これは $\frac{n\pi }{4}\equiv \frac{\pi }{2}(\mathrm{mod}2\pi )$、すなわち $n\equiv 2(\mathrm{mod}8)$ と同値である。

(2) $z=e^{i5\pi /4}$ が解となる条件は $\frac{5n\pi }{4}\equiv \frac{\pi }{2}(\mathrm{mod}2\pi )$、すなわち $5n\equiv 2(\mathrm{mod}8)$ である。5 の mod 8 での逆元は 5 なので $n\equiv 10\equiv 2(\mathrm{mod}8)$ となり、(1) と同じ条件になる。

よって $n\equiv 2(\mathrm{mod}8)$ であり、$1\le n\le 30$ では $n=2,10,18,26$ である。

検算: $n=2$ のとき ${\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{2i}{2}=i$ で成り立つ。$n=10$ のとき $e^{i10\pi /4}=e^{i5\pi /2}=e^{i\pi /2}=i$ で成り立つ。