$z^{n}$ が実数・純虚数となる条件

$z$ の偏角 $θ$ から $z^{n}$ の偏角 $n θ$ を求められる。 $n θ = k π$ （実数）、 $n θ = \frac{π}{2} + k π$ （純虚数）、 $n θ = 2 k π$ （正の実数）の条件から、条件を満たす最小の正の整数 $n$ と $z^{n}$ の値を求められる

前提

ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）

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算数中学高校大学大学院

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ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）

説明

複素数 $z$ を何乗かしたとき、その値が実数・純虚数・正の実数になるかどうかを、計算せずに偏角だけで判定する技能です。 $z$ を極形式で表すと、 $z^{n}$ の偏角は $n θ$ になります。この $n θ$ に条件を課せば、「 $z^{n}$ が実数（純虚数、正の実数）となる最小の正の整数 $n$ 」と、そのときの $z^{n}$ の値がすぐに求まります。

なぜそうしてよいのか

$z \neq = 0$ を $z = r (cos θ + i sin θ)$ （ $r > 0$ ）と表すと、ド・モアブルの定理より $z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$ です。 $r^{n} > 0$ なので、 $z^{n}$ の実部は $r^{n} cos n θ$ 、虚部は $r^{n} sin n θ$ となり、実部・虚部が $0$ かどうかや符号は $cos n θ$ 、 $sin n θ$ だけで決まります。

$z^{n}$ が実数になるのは虚部が $0$ 、つまり $sin n θ = 0$ のときで、これは $n θ = k π$ （ $k$ は整数）と同じです。 $z^{n}$ が純虚数（実部が $0$ で虚部が $0$ でない数）になるのは $cos n θ = 0$ のときです。このとき $sin n θ = \pm 1 \neq = 0$ なので、虚部は自動的に $0$ になりません。条件は $n θ = \frac{π}{2} + k π$ です。 $z^{n}$ が正の実数になるのは $sin n θ = 0$ かつ $cos n θ > 0$ 、すなわち $cos n θ = 1$ のときで、 $n θ = 2 k π$ です。

単位円で考えると、 $z^{n}$ を表す点は、偏角 $n θ$ の方向にあります。その方向が実軸上なら実数、虚軸上なら純虚数、実軸の正の向きなら正の実数です。

手順

$z$ を極形式 $z = r (cos θ + i sin θ)$ （ $r > 0$ ）で表し、 $r$ と $θ$ を求める。
ド・モアブルの定理で $z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$ と書く。
求める条件を偏角の式にする（ $k$ は整数）。実数なら $n θ = k π$ 、純虚数なら $n θ = \frac{π}{2} + k π$ 、正の実数なら $n θ = 2 k π$ 。
その式を $n$ について解き、 $n$ が正の整数になる $k$ の中から最小の $n$ を選ぶ。
求めた $n$ を $z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$ に代入して、 $z^{n}$ の値を計算する。

例題

$z = 3 + i$ とする。 $z^{n}$ が純虚数となる最小の正の整数 $n$ と、そのときの $z^{n}$ の値を、この順に求めよ。

例題の解答

手順1: $∣ z ∣ = (3)^{2} + 1^{2} = 2$ なので $z = 2 (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i) = 2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ 。よって $r = 2$ 、 $θ = \frac{π}{6}$ 。
手順2: $z^{n} = 2^{n} (cos \frac{nπ}{6} + i sin \frac{nπ}{6})$ 。
手順3: 純虚数となる条件は $cos \frac{nπ}{6} = 0$ 、すなわち $\frac{nπ}{6} = \frac{π}{2} + k π$ （ $k$ は整数）。
手順4: 両辺に $\frac{6}{π}$ を掛けて $n = 3 + 6 k$ 。 $n$ が正の整数になる最小のものは $k = 0$ のときで、 $n = 3$ 。
手順5: $z^{3} = 2^{3} (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}) = 8 (0 + i) = 8 i$ 。
（確認: $8 i$ は実部 $0$ 、虚部 $8 \neq = 0$ なので純虚数です。）
答え: $n = 3$ 、 $z^{3} = 8 i$

答え: $(3, 8 i)$

よくある誤り

純虚数の条件を $sin n θ = 0$ としてしまう誤り。 $sin n θ = 0$ は虚部が $0$ 、つまり実数になる条件です。純虚数の条件は、実部が $0$ になる $cos n θ = 0$ 、すなわち $n θ = \frac{π}{2} + k π$ です。
「正の実数」なのに実数の条件 $n θ = k π$ を使ってしまう誤り。 $z = 3 + i$ では $\frac{nπ}{6} = k π$ から $n = 6$ となりますが、 $z^{6} = 64 (cos π + i sin π) = - 64$ は負です。正しくは $\frac{nπ}{6} = 2 k π$ から $n = 12$ で、 $z^{12} = 4096$ になります。
$z^{n}$ の値を計算するときに絶対値の $n$ 乗を忘れる誤り。 $z = 3 + i$ で $z^{3} = cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2} = i$ としてはいけません。正しくは $z^{3} = 2^{3} (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}) = 8 i$ です。
$k = 0$ と決めつけて、 $n$ が整数かどうかを確かめない誤り。たとえば $θ = \frac{π}{3}$ で純虚数の条件を考えると、 $\frac{nπ}{3} = \frac{π}{2} + k π$ から $n = \frac{3 + 6 k}{2}$ です。分子 $3 + 6 k$ はつねに奇数なので、どの整数 $k$ でも $n$ は整数になりません。 $n = \frac{3}{2}$ を答えにするのは誤りで、この場合は条件を満たす正の整数 $n$ は存在しません。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

$z^{n}$ が実数・純虚数となる条件

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

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zn が実数・純虚数となる条件

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