複素数平面の問題

手順1：$z$ を極形式で表す。

絶対値は $|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$ である。よって
$$z=2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$$
となり、$z$ の偏角は $\frac{\pi }{3}$ である。

手順2：ド・モアブルの定理で $z^n$ の偏角を求める。

ド・モアブルの定理より
$$z^n=2^n\left(\cos \frac{n\pi }{3}+i\sin \frac{n\pi }{3}\right)$$
となる。$z^n$ の偏角は $\frac{n\pi }{3}$ である。

手順3：実数となる条件を立てる。

$2^n>0$ なので、$z^n$ が実数になるのは虚部 $2^n\sin \frac{n\pi }{3}$ が $0$ のとき、すなわち $\sin \frac{n\pi }{3}=0$ のときである。これは偏角が $\pi$ の整数倍であること、つまり
$$\frac{n\pi }{3}=k\pi (k\text{ は整数})$$
と同じである。これより $n=3k$ となる。

手順4：最小の正の整数 $n$ を求める。

$n=3k$ を満たす正の整数 $n$ のうち最小のものは、$k=1$ のときの $n=3$ である。よって $n_0=3$ である。

手順5：$z^{n_0}$ の値を求める。
$$z^3=2^3\left(\cos \pi +i\sin \pi \right)=8\cdot (-1+0\cdot i)=-8$$

（確認：$(1+\sqrt{3}i{)}^2=1+2\sqrt{3}i-3=-2+2\sqrt{3}i$ であり、これに $1+\sqrt{3}i$ を掛けると $-2-2\sqrt{3}i+2\sqrt{3}i-6=-8$ となって一致する。）

したがって、求める値は $-8$ である。

$z=1+\sqrt{3}i=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ と極形式で表せる。ド・モアブルの定理より $z^n=2^n\left(\cos \frac{n\pi }{3}+i\sin \frac{n\pi }{3}\right)$。これが実数となる条件は $\sin \frac{n\pi }{3}=0$、すなわち $n$ が 3 の倍数であること。よって最小の正の整数は $n_0=3$。このとき $z^3=2^3(\cos \pi +i\sin \pi )=-8$。検算: $z^2=1-3+2\sqrt{3}i=-2+2\sqrt{3}i$、$z^3=(-2+2\sqrt{3}i)(1+\sqrt{3}i)=-2-2\sqrt{3}i+2\sqrt{3}i+2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}{i}^2=-2-6=-8$。また $n=1,2$ では虚部が 0 でないので $n_0=3$ で正しい。