複素数平面の問題

分母と分子をそれぞれ極形式で表す。
$$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right),1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$$
商の絶対値は絶対値の商、偏角は偏角の差になるので
$$z=\frac{2}{\sqrt{2}}\left\{\cos \left(\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}\right)\right\}=\sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{12}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{12}\right)\right\}$$
となる。

ド・モアブルの定理より、正の整数 $n$ に対して
$$z^n={\left(\sqrt{2}\right)}^n\left\{\cos \left(-\frac{n\pi }{12}\right)+i\sin \left(-\frac{n\pi }{12}\right)\right\}$$
である。

$z^n$ が純虚数となるのは、実部が $0$ で虚部が $0$ でないときである。${\left(\sqrt{2}\right)}^n\ne 0$ なので、条件は $\cos \frac{n\pi }{12}=0$ である。このとき $\sin \frac{n\pi }{12}=\pm 1\ne 0$ となるので、虚部は自動的に $0$ でない。

$\cos \frac{n\pi }{12}=0$ となるのは、$k$ を整数として
$$\frac{n\pi }{12}=\frac{\pi }{2}+k\pi \text{すなわち}n=6+12k$$
のときである。これを満たす最小の正の整数は $n_0=6$ である。

よって
$$z^6={\left(\sqrt{2}\right)}^6\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\right\}=8(0-i)=-8i$$

(確認) $z=\frac{(\sqrt{3}+i)(1-i)}{2}=\frac{(\sqrt{3}+1)+(1-\sqrt{3})i}{2}$ であり、
$$|z{|}^2=\frac{(4+2\sqrt{3})+(4-2\sqrt{3})}{4}=2$$
となるので、$|z|=\sqrt{2}$ と一致する。

答えは $-8i$ である。

$1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$、$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$ である。よって $z=\sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{12}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{12}\right)\right\}$。ド・モアブルの定理より $z^n=2^{n/2}\left\{\cos \left(-\frac{n\pi }{12}\right)+i\sin \left(-\frac{n\pi }{12}\right)\right\}$。これが純虚数になる条件は、実部が0で虚部が0でないこと、すなわち $\cos \frac{n\pi }{12}=0$ である。このとき $\frac{n\pi }{12}=\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k$ は整数）なので $n=6+12k$。最小の正の整数は $n_0=6$。このとき $z^6=2^3\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\right\}=-8i$。検算として $z^2=\frac{(\sqrt{3}+i{)}^2}{(1+i{)}^2}=\frac{2+2\sqrt{3}i}{2i}=\sqrt{3}-i$。$z^6=(\sqrt{3}-i{)}^3=3\sqrt{3}-9i+3\sqrt{3}{i}^2-i^3=3\sqrt{3}-9i-3\sqrt{3}+i=-8i$ となり一致する。