複素数平面の問題

分母と分子をそれぞれ極形式で表す。

$\sqrt{3}+i$ の絶対値は $\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=2$ であるから、
$$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$$
となる。

$1+i$ の絶対値は $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ であるから、
$$1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$$
となる。

商の絶対値は絶対値の商、偏角は偏角の差になる。$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$、$\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{12}$ であるから、
$$w=\sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{12}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{12}\right)\right\}$$
である。

ド・モアブルの定理より、正の整数 $n$ に対して
$$w^n=(\sqrt{2}{)}^n\left\{\cos \left(-\frac{n\pi }{12}\right)+i\sin \left(-\frac{n\pi }{12}\right)\right\}$$
となる。

$(\sqrt{2}{)}^n\ne 0$ であるから、$w^n$ が実数となる条件は $\sin \left(-\frac{n\pi }{12}\right)=0$ である。これは $\frac{n\pi }{12}$ が $\pi$ の整数倍であること、すなわち $n$ が $12$ の倍数であることと同値である。よって、条件を満たす最小の正の整数は $n=12$ である。

このとき
$$(\sqrt{2}{)}^{12}=2^6=64$$
であり、偏角は $-\frac{12\pi }{12}=-\pi$ であるから、
$$w^{12}=64\{\cos (-\pi )+i\sin (-\pi )\}=64\cdot (-1+0\cdot i)=-64$$
となる。

したがって、求める値は $-64$ である。

$w=\frac{(\sqrt{3}+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}i+i-i^2}{2}=\frac{(\sqrt{3}+1)+(1-\sqrt{3})i}{2}$。
極形式で考える。$\sqrt{3}+i=2(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})$、$1+i=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})$ なので、
$w=\sqrt{2}\left(\cos (-\frac{\pi }{12})+i\sin (-\frac{\pi }{12})\right)$。
よって $w^n=2^{n/2}\left(\cos (-\frac{n\pi }{12})+i\sin (-\frac{n\pi }{12})\right)$。
実数となる条件は $\sin \frac{n\pi }{12}=0$、すなわち $n$ が 12 の倍数。最小の正の整数は $n=12$。
このとき $w^{12}=2^6(\cos (-\pi )+i\sin (-\pi ))=64\cdot (-1)=-64$。
検算：$w^2=2(\cos (-\frac{\pi }{6})+i\sin (-\frac{\pi }{6}))=\sqrt{3}-i$、$w^{12}=(w^2{)}^6=2^6(\cos (-\pi )+i\sin (-\pi ))=-64$。一致する。