複素数平面の問題

分子と分母を極形式で表す。

$$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right),1-i=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$$

商の絶対値は絶対値の商、偏角は偏角の差になるので、
$$z=\frac{2}{\sqrt{2}}\left\{\cos \left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}\right)\right\}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right)$$

ド・モアブルの定理を使う。

$$z^n=(\sqrt{2}{)}^n\left(\cos \frac{5n\pi }{12}+i\sin \frac{5n\pi }{12}\right)$$

$(\sqrt{2}{)}^n>0$ なので、$z^n$ が純虚数となる条件は
$$\cos \frac{5n\pi }{12}=0\text{かつ}\sin \frac{5n\pi }{12}\ne 0$$
である。これは、$k$ を整数として
$$\frac{5n\pi }{12}=\frac{\pi }{2}+k\pi$$
と書けることと同値である。両辺を $\frac{\pi }{12}$ で割ると
$$5n=6+12k=6(2k+1)$$
となる。

条件を満たす最小の $n$ を求める。

$5n$ は $6$ の奇数倍でなければならない。
- $5$ と $6$ は互いに素なので、$n$ は $6$ の倍数である。$n=6m$（$m$ は正の整数）とおく。
- このとき $5n=6\cdot 5m$ となるので、$5m$ が奇数、すなわち $m$ が奇数であればよい。

よって最小の正の整数は $n=6$（$m=1$）であり、$N=6$ である。

（確認：$n=1,2,3,4,5$ のとき偏角は $\frac{5\pi }{12},\frac{10\pi }{12},\frac{15\pi }{12},\frac{20\pi }{12},\frac{25\pi }{12}$ である。いずれも $\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$ と $2\pi$ の整数倍の違いで一致しないので、$z^n$ は純虚数にならない。）

$z^6$ を計算する。

$$z^6=(\sqrt{2}{)}^6\left(\cos \frac{30\pi }{12}+i\sin \frac{30\pi }{12}\right)=8\left(\cos \frac{5\pi }{2}+i\sin \frac{5\pi }{2}\right)=8(0+i\cdot 1)=8i$$

したがって $z^N=8i$ である。

まず $z$ を整理する。$z=\frac{(\sqrt{3}+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)i}{2}$。

極形式で考える。$|\sqrt{3}+i|=2$、偏角は $\frac{\pi }{6}$。$|1-i|=\sqrt{2}$、偏角は $-\frac{\pi }{4}$。よって $|z|=\sqrt{2}$、偏角は $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{12}$ である。すなわち $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right)$。

ド・モアブルの定理より $z^n=(\sqrt{2}{)}^n\left(\cos \frac{5n\pi }{12}+i\sin \frac{5n\pi }{12}\right)$。

$z^n$ が純虚数になる条件は、$\frac{5n\pi }{12}=\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k$ は整数）、つまり $5n=6+12k$ である。

これは $5n\equiv 6(\mathrm{mod}12)$ と同値。$5\cdot 5=25\equiv 1(\mathrm{mod}12)$ なので両辺に 5 をかけると $n\equiv 30\equiv 6(\mathrm{mod}12)$。よって最小の正の整数は $N=6$。

このとき $z^6=(\sqrt{2}{)}^6\left(\cos \frac{5\pi }{2}+i\sin \frac{5\pi }{2}\right)=8(0+i)=8i$。

検算：$z^2=\frac{(\sqrt{3}+i{)}^2}{(1-i{)}^2}=\frac{2+2\sqrt{3}i}{-2i}=\frac{(1+\sqrt{3}i)i}{-i\cdot i}\cdot (-1)$ と整理するより、$\frac{2+2\sqrt{3}i}{-2i}=\frac{(1+\sqrt{3}i)i}{1}\cdot \frac{1}{-i\cdot i}\cdot (-1)$ は煩雑なので、直接 $\frac{1+\sqrt{3}i}{-i}=(1+\sqrt{3}i)i=-\sqrt{3}+i$ とする。$z^2=-\sqrt{3}+i$。$(-\sqrt{3}+i{)}^3$ の偏角は $3\cdot \frac{5\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$、絶対値は $8$ なので $8i$ となり一致する。