複素数平面の問題

分子と分母をそれぞれ極形式で表す。
$$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right),1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$$
商の絶対値は絶対値の商、偏角は偏角の差になるので
$$z=\frac{2}{\sqrt{2}}\left\{\cos \left(\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}\right)\right\}=\sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{12}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{12}\right)\right\}$$
となる。

ド・モアブルの定理より、正の整数 $n$ に対して
$$z^n={\left(\sqrt{2}\right)}^n\left\{\cos \left(-\frac{n\pi }{12}\right)+i\sin \left(-\frac{n\pi }{12}\right)\right\}$$
である。${\left(\sqrt{2}\right)}^n\ne 0$ なので、$z^n$ が実数となる条件は
$$\sin \left(-\frac{n\pi }{12}\right)=0$$
すなわち $\frac{n\pi }{12}$ が $\pi$ の整数倍、つまり $n$ が $12$ の倍数であることである。よって最小の正の整数は $n_0=12$ である。

このとき
$$z^{12}={\left(\sqrt{2}\right)}^{12}\left\{\cos (-\pi )+i\sin (-\pi )\right\}=2^6\cdot (-1+0\cdot i)=-64$$
したがって $z^{n_0}=-64$ である。

$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$、$1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$ なので、$z=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{12}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{12}\right)\right)$。ド・モアブルの定理より $z^n=2^{n/2}\left(\cos \left(-\frac{n\pi }{12}\right)+i\sin \left(-\frac{n\pi }{12}\right)\right)$。これが実数になるのは $\sin \frac{n\pi }{12}=0$ のとき、つまり $n$ が 12 の倍数のときで、最小の正の整数は $n_0=12$。このとき $z^{12}=2^6(\cos (-\pi )+i\sin (-\pi ))=64\cdot (-1)=-64$。

検算: $z=\frac{(\sqrt{3}+i)(1-i)}{2}=\frac{(\sqrt{3}+1)+(1-\sqrt{3})i}{2}$。$z^2=\frac{(\sqrt{3}+i{)}^2}{(1+i{)}^2}=\frac{2+2\sqrt{3}i}{2i}=\sqrt{3}-i$ となる。$z^{12}=(z^2{)}^6=(\sqrt{3}-i{)}^6=2^6(\cos (-\pi /6){)}^6$ の偏角は $-\pi$ なので $-64$。一致する。