複素数平面の問題

分子と分母を極形式で表す

$|\sqrt{3}+i|=\sqrt{3+1}=2$ なので、
$$\sqrt{3}+i=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$$
である。

$|1-i|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ なので、
$$1-i=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)=\sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right\}$$
である。

$z$ の極形式

商の絶対値は絶対値の商、偏角は偏角の差になる。
$$|z|=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},\arg z=\frac{\pi }{6}-\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{2\pi }{12}+\frac{3\pi }{12}=\frac{5\pi }{12}$$
よって
$$z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right)$$
である。

$z^n$ を求める

ド・モアブルの定理より
$$z^n=(\sqrt{2}{)}^n\left(\cos \frac{5n\pi }{12}+i\sin \frac{5n\pi }{12}\right)$$
である。

$z^n$ が正の実数となる条件

$(\sqrt{2}{)}^n>0$ なので、$z^n$ が正の実数となる条件は
$$\cos \frac{5n\pi }{12}=1\text{かつ}\sin \frac{5n\pi }{12}=0$$
である。これは、ある整数 $k$ を用いて $\frac{5n\pi }{12}=2k\pi$ と書けること、すなわち
$$5n=24k$$
と同値である。

$5$ と $24$ は互いに素なので、$n$ は $24$ の倍数でなければならない。逆に $n=24$ のとき $k=5$ となり、条件を満たす。よって最小の正の整数は $n=24$ である。

$z^{24}$ の値
$$z^{24}=(\sqrt{2}{)}^{24}(\cos 10\pi +i\sin 10\pi )=2^{12}\cdot 1=4096$$

答えは $4096$ である。

$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$、$1-i=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$ である。したがって $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right)$ となる。ここで偏角は $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{12}$ である。ド・モアブルの定理より $z^n=(\sqrt{2}{)}^n\left(\cos \frac{5n\pi }{12}+i\sin \frac{5n\pi }{12}\right)$。これが正の実数になる条件は、ある整数 $k$ で $\frac{5n\pi }{12}=2k\pi$、すなわち $5n=24k$ が成り立つことである。5 と 24 は互いに素なので $n$ は 24 の倍数であり、最小の正の整数は $n=24$。このとき $z^{24}=(\sqrt{2}{)}^{24}=2^{12}=4096$。検算：$z^2=\frac{(\sqrt{3}+i{)}^2}{(1-i{)}^2}=\frac{2+2\sqrt{3}i}{-2i}=-\sqrt{3}+i$ なので $|z^2|=2$、偏角は $5\pi /6$。これは $5\cdot 2\pi /12$ と一致し、$|z{|}^{24}=2^{12}$ とも整合する。