複素数平面の問題

分子と分母をそれぞれ極形式で表す。

$$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right),$$
$$1-i=\sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right\}$$

商の絶対値は絶対値の商、偏角は偏角の差になるから
$$|\alpha |=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},\arg \alpha =\frac{\pi }{6}-\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{5}{12}\pi$$
よって
$$\alpha =\sqrt{2}\left(\cos \frac{5}{12}\pi +i\sin \frac{5}{12}\pi \right)$$

ド・モアブルの定理より、正の整数 $n$ に対して
$${\alpha }^n=(\sqrt{2}{)}^n\left(\cos \frac{5n}{12}\pi +i\sin \frac{5n}{12}\pi \right)$$

$(\sqrt{2}{)}^n>0$ なので、${\alpha }^n$ が正の実数となる条件は
$$\cos \frac{5n}{12}\pi =1(\text{このとき }\sin \frac{5n}{12}\pi =0)$$
すなわち、ある整数 $k$ を用いて
$$\frac{5n}{12}\pi =2k\pi ⟺5n=24k$$
と表せることである。$5$ と $24$ は互いに素なので、$n$ は $24$ の倍数でなければならない。逆に $n=24$ のとき $k=5$ で条件を満たす。したがって $N=24$ である。

このとき
$${\alpha }^{24}=(\sqrt{2}{)}^{24}\left(\cos 10\pi +i\sin 10\pi \right)=2^{12}\cdot 1=4096$$

答えは $4096$ である。

$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$、$1-i=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$ である。
よって $\alpha =\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right)$ となる（偏角は $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{12}$）。
ド・モアブルの定理より ${\alpha }^n=(\sqrt{2}{)}^n\left(\cos \frac{5n\pi }{12}+i\sin \frac{5n\pi }{12}\right)$ である。
${\alpha }^n$ が正の実数になるのは $\frac{5n\pi }{12}=2k\pi$（$k$ は整数）のとき、すなわち $5n=24k$ のときである。
5 と 24 は互いに素なので $n$ は 24 の倍数であり、最小の正の整数は $N=24$ である。
このとき ${\alpha }^{24}=(\sqrt{2}{)}^{24}=2^{12}=4096$ となる。
検算：$n=24$ では偏角が $\frac{5\cdot 24\pi }{12}=10\pi$ で、確かに正の実数になる。また $n<24$ では $5n$ が 24 の倍数にならない。