複素数平面の問題

分子と分母をそれぞれ極形式で表す。

$$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$$
$$1-i=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$$

商の絶対値は絶対値の商、偏角は偏角の差になるので
$$z=\frac{2}{\sqrt{2}}\left\{\cos \left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}\right)\right\}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right)$$

ド・モアブルの定理より、正の整数 $n$ に対して
$$z^n=(\sqrt{2}{)}^n\left(\cos \frac{5n\pi }{12}+i\sin \frac{5n\pi }{12}\right)$$

$(\sqrt{2}{)}^n>0$ であるから、$z^n$ が正の実数となる条件は
$$\cos \frac{5n\pi }{12}=1,\sin \frac{5n\pi }{12}=0$$
すなわち、ある整数 $k$ を用いて
$$\frac{5n\pi }{12}=2k\pi ⟺5n=24k$$
と表せることである。$5$ と $24$ は互いに素なので、$n$ は $24$ の倍数でなければならない。逆に $n=24$ のとき $k=5$ として条件を満たす。よって、最小の正の整数は $n=24$ である。

このとき
$$z^{24}=(\sqrt{2}{)}^{24}(\cos 10\pi +i\sin 10\pi )=2^{12}\cdot 1=4096$$

したがって、求める値は $4096$ である。

$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$、$1-i=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$ である。

よって $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right)$ となる。偏角は $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{12}$ である。

ド・モアブルの定理より $z^n=(\sqrt{2}{)}^n\left(\cos \frac{5n\pi }{12}+i\sin \frac{5n\pi }{12}\right)$ である。

$z^n$ が正の実数になる条件は、ある整数 $k$ について $\frac{5n\pi }{12}=2k\pi$ となること、すなわち $5n=24k$ である。

$5$ と $24$ は互いに素なので、$n$ は $24$ の倍数でなければならない。したがって最小の正の整数は $n=24$ である。

このとき $z^{24}=(\sqrt{2}{)}^{24}=2^{12}=4096$ である。

検算：$z^2=\frac{(\sqrt{3}+i{)}^2}{(1-i{)}^2}=\frac{2+2\sqrt{3}i}{-2i}=-\sqrt{3}+i$ である。これは絶対値 $2$、偏角 $\frac{5\pi }{6}$ で、$\frac{5\pi }{12}\cdot 2$ と一致する。さらに $(z^2{)}^{12}=2^{12}\left(\cos 10\pi +i\sin 10\pi \right)=4096$ となり、正の実数である。