複素数平面の問題

分子と分母をそれぞれ極形式で表す。

$$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$$
$$1-i=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$$

商の絶対値は絶対値の商、偏角は偏角の差になるので
$$|\alpha |=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},\arg \alpha =\frac{\pi }{6}-\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{5}{12}\pi$$
よって
$$\alpha =\sqrt{2}\left(\cos \frac{5}{12}\pi +i\sin \frac{5}{12}\pi \right)$$

(確認: $\alpha =\frac{(\sqrt{3}+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)i}{2}$ であり、$|\alpha {|}^2=\frac{(4-2\sqrt{3})+(4+2\sqrt{3})}{4}=2$ となり一致する。)

ド・モアブルの定理より
$${\alpha }^n=(\sqrt{2}{)}^n\left(\cos \frac{5n}{12}\pi +i\sin \frac{5n}{12}\pi \right)$$
${\alpha }^n$ が実数となる条件は $\sin \frac{5n}{12}\pi =0$、すなわち $\frac{5n}{12}$ が整数となることである。$5$ と $12$ は互いに素なので、これは $n$ が $12$ の倍数であることと同値である。したがって $n_0=12$。

このとき
$${\alpha }^{12}=(\sqrt{2}{)}^{12}\left(\cos 5\pi +i\sin 5\pi \right)=2^6\cdot (-1)=-64$$

よって求める値は $-64$ である。

$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$、$1-i=\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$ である。よって $\alpha =\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{12}+i\sin \frac{5\pi }{12}\right)$ となる。ド・モアブルの定理より ${\alpha }^n=2^{n/2}\left(\cos \frac{5n\pi }{12}+i\sin \frac{5n\pi }{12}\right)$。実数になる条件は $\sin \frac{5n\pi }{12}=0$、すなわち $\frac{5n}{12}$ が整数、つまり $12\mid 5n$。5 と 12 は互いに素なので $12\mid n$。最小の正の整数は $n_0=12$。このとき ${\alpha }^{12}=2^6(\cos 5\pi +i\sin 5\pi )=64\cdot (-1)=-64$。検算：${\alpha }^2=\frac{(\sqrt{3}+i{)}^2}{(1-i{)}^2}=\frac{2+2\sqrt{3}i}{-2i}=\frac{(1+\sqrt{3}i)i}{-i\cdot i}$ を直接計算すると $\frac{2+2\sqrt{3}i}{-2i}=\frac{(1+\sqrt{3}i)}{-i}=i(1+\sqrt{3}i)=-\sqrt{3}+i$。これは $2\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)$ で、6乗すると $64(\cos 5\pi +i\sin 5\pi )=-64$ となり一致する。