複素数平面の問題

手順 1：$z$ を極形式で表す。

$|z|=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=2$ なので
$$z=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=2\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\right\}$$
となる。

手順 2：ド・モアブルの定理で $z^n$ を表す。

$$z^n=2^n\left\{\cos \left(-\frac{n\pi }{6}\right)+i\sin \left(-\frac{n\pi }{6}\right)\right\}$$
となる。よって $z^n$ の偏角は $-\frac{n\pi }{6}$ である。

手順 3：純虚数となる条件を立てる。

$z^n$ が純虚数であるのは、実部が $0$ で虚部が $0$ でないときである。$2^n\ne 0$ なので、条件は $\cos \left(-\frac{n\pi }{6}\right)=0$ である。これは偏角が $\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k$ は整数）のときで、このとき $\sin$ の値は $\pm 1$ となり $0$ でない。したがって
$$-\frac{n\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi$$
を解いて
$$n=-3-6k=-3(2k+1)$$
となる。よって $n$ は $3$ の奇数倍であり、正の整数のうち最小のものは $k=-1$ のときの $n=3$ である。したがって $N=3$ である。

手順 4：$z^N$ の値を求める。

$$z^3=2^3\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\right\}=8(0-i)=-8i$$

（確認：$(\sqrt{3}-i{)}^2=2-2\sqrt{3}i$ であり、$(2-2\sqrt{3}i)(\sqrt{3}-i)=2\sqrt{3}-2i-6i-2\sqrt{3}=-8i$ となって一致する。）

答えは $-8i$ である。

$z=\sqrt{3}-i=2\left(\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\right)$ なので、ド・モアブルの定理より $z^n=2^n\left(\cos \left(-\frac{n\pi }{6}\right)+i\sin \left(-\frac{n\pi }{6}\right)\right)$。
純虚数となる条件は、実部が 0 で虚部が 0 でないこと、すなわち $\cos \frac{n\pi }{6}=0$ である（このとき $\sin \frac{n\pi }{6}=\pm 1\ne 0$）。
$\frac{n\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi$ より $n=3+6k$。最小の正の整数は $n=3$ なので $N=3$。
$z^3=8\left(\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\right)=-8i$。
検算：$z^2=3-2\sqrt{3}i-1=2-2\sqrt{3}i$、$z^3=(2-2\sqrt{3}i)(\sqrt{3}-i)=2\sqrt{3}-2i-6i+2\sqrt{3}{i}^2=2\sqrt{3}-8i-2\sqrt{3}=-8i$。$n=1$ は $\sqrt{3}-i$、$n=2$ は $2-2\sqrt{3}i$ で純虚数でないので、最小は $n=3$。