複素数平面の問題

手順 1：$z$ を極形式で表す。

$z=-1+i$ の絶対値は
$$|z|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{2}$$
である。よって
$$z=\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)$$
となる。$\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ として $\theta =\frac{3}{4}\pi$ をとると
$$z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3}{4}\pi +i\sin \frac{3}{4}\pi \right)$$
である。

手順 2：ド・モアブルの定理で $z^n$ を表す。

$$z^n=(\sqrt{2}{)}^n\left(\cos \frac{3n}{4}\pi +i\sin \frac{3n}{4}\pi \right)$$
となる。$z^n$ の偏角は $\frac{3n}{4}\pi$ である。

手順 3：実数となる条件を立てる。

$(\sqrt{2}{)}^n>0$ であるから、$z^n$ が実数となるのは虚部が $0$、すなわち $\sin \frac{3n}{4}\pi =0$ のときである。これは、$k$ を整数として
$$\frac{3n}{4}\pi =k\pi \text{すなわち}3n=4k$$
となるときである。$3$ と $4$ は互いに素なので、$3n$ が $4$ の倍数になるのは $n$ が $4$ の倍数のときである。よって、条件を満たす最小の正の整数は $n_0=4$ である。

手順 4：$z^{n_0}$ の値を求める。

$$z^4=(\sqrt{2}{)}^4\left(\cos 3\pi +i\sin 3\pi \right)=4\cdot (-1+0\cdot i)=-4$$

（確認：$z^2=(-1+i{)}^2=1-2i+i^2=-2i$ であるから、$z^4=(-2i{)}^2=4i^2=-4$ となり一致する。また $z=-1+i$、$z^2=-2i$、$z^3=z^2\cdot z=2+2i$ はいずれも実数でない。）

したがって、$z^{n_0}=-4$ である。

$z=-1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)$ なので、ド・モアブルの定理より $z^n=(\sqrt{2}{)}^n\left(\cos \frac{3n\pi }{4}+i\sin \frac{3n\pi }{4}\right)$。これが実数になる条件は $\sin \frac{3n\pi }{4}=0$、すなわち $\frac{3n}{4}$ が整数、つまり $n$ が 4 の倍数であること。よって最小の正の整数は $n_0=4$。\n直接計算で確かめる：$z^2=(-1+i{)}^2=1-2i+i^2=-2i$、$z^4=(-2i{)}^2=4i^2=-4$。\n途中の $n=1,2,3$ では、$z=-1+i$、$z^2=-2i$、$z^3=z^2\cdot z=-2i(-1+i)=2i+2=2+2i$ となりいずれも実数でない。したがって $n_0=4$ で、$z^{n_0}=-4$。