複素数平面の問題

$i$ を虚数単位とする。

$z$ の候補を絞る
$z^n=-1$ の両辺の絶対値をとると $|z{|}^n=1$ であり、$|z|\geqq 0$ なので $|z|=1$。
同様に $(z-1{)}^n=1$ から $|z-1{|}^n=1$ より $|z-1|=1$。
よって、点 $z$ は複素数平面上で、原点を中心とする半径 $1$ の円と、点 $1$ を中心とする半径 $1$ の円の両方の上にある。

$z=x+yi$（$x,y$ は実数）とおくと
$$x^2+y^2=1,(x-1{)}^2+y^2=1$$
辺々引くと $2x-1=0$ より $x=\frac{1}{2}$、このとき $y^2=\frac{3}{4}$ より $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。したがって
$$z=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$$
に限られる。

$z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ のとき
$z=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$、$z-1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$ である。ド・モアブルの定理より
$$z^n=\cos \frac{n\pi }{3}+i\sin \frac{n\pi }{3},(z-1{)}^n=\cos \frac{2n\pi }{3}+i\sin \frac{2n\pi }{3}$$
- $z^n=-1$ となる条件は、$\frac{n\pi }{3}=\pi +2m\pi$（$m$ は整数）、すなわち $n=3(2m+1)$、つまり $n$ が $3$ の奇数倍であること。
- $(z-1{)}^n=1$ となる条件は、$\frac{2n\pi }{3}=2l\pi$（$l$ は整数）、すなわち $n$ が $3$ の倍数であること。

よって両方が成り立つ条件は「$n$ が $3$ の奇数倍」である。

$z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ のとき
これは上の $z$ の共役複素数であり、$z-1$ も上の $z-1$ の共役複素数である。$-1$ と $1$ はともに実数なので、共役をとっても条件は変わらず、同じく「$n$ が $3$ の奇数倍」となる。

まとめ
$1\leqq n\leqq 30$ で $n$ が $3$ の奇数倍であるのは $n=3,9,15,21,27$。

（確認）$n=3$ のとき $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ について $z^3=\cos \pi +i\sin \pi =-1$、$(z-1{)}^3=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1$ となり、確かに両方が成り立つ。

答えは $n=3,9,15,21,27$。

$z^n=-1$ より $|z{|}^n=1$ なので $|z|=1$。$(z-1{)}^n=1$ より $|z-1{|}^n=1$ なので $|z-1|=1$。

$z=x+yi$（$x,y$ は実数）とおくと、$x^2+y^2=1$ かつ $(x-1{)}^2+y^2=1$。辺々引くと $2x-1=0$ より $x=\frac{1}{2}$、$y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。よって $z=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{\pi }{3}\pm i\sin \frac{\pi }{3}$。

$z=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$ のとき、$z-1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$。

ド・モアブルの定理より
- $z^n=\cos \frac{n\pi }{3}+i\sin \frac{n\pi }{3}=-1$ となる条件は、$\frac{n\pi }{3}=\pi +2m\pi$（$m$ は整数）、すなわち $n=3+6m$。つまり $n$ を 6 で割った余りが 3。
- $(z-1{)}^n=\cos \frac{2n\pi }{3}+i\sin \frac{2n\pi }{3}=1$ となる条件は、$\frac{2n\pi }{3}=2l\pi$（$l$ は整数）、すなわち $n$ が 3 の倍数。

$n=3+6m$ は常に 3 の倍数なので、条件は「$n$ を 6 で割った余りが 3」。$z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ の場合は $z$ の共役で、2 式の左辺がそれぞれ共役になるだけなので同じ条件になる。

$1\le n\le 30$ では $n=3,9,15,21,27$。

検算: $n=3$ のとき $z=e^{i\pi /3}$ で $z^3=e^{i\pi }=-1$、$(z-1{)}^3=e^{2\pi i}=1$ で成り立つ。$n=9$ のとき $z^9=e^{3\pi i}=-1$、$(z-1{)}^9=e^{6\pi i}=1$ で成り立つ。$n=6$ のときは $z^6=e^{2\pi i}=1\ne -1$ で不適。