複素数平面の問題

まず右辺を極形式で表す。
$$|-8+8\sqrt{3}i|=\sqrt{64+192}=\sqrt{256}=16$$
であり、
$$-8+8\sqrt{3}i=16\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=16\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$$
となる。

解を $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ $(r>0,0\leqq \theta <2\pi )$ とおくと、ド・モアブルの定理より
$$z^4=r^4(\cos 4\theta +i\sin 4\theta )$$
である。これが $16\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$ に等しいので、絶対値と偏角を比べて
$$r^4=16,4\theta =\frac{2\pi }{3}+2k\pi (k\text{ は整数})$$
を得る。$r>0$ より $r=2$ である。また $\theta =\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$ であり、$0\leqq \theta <2\pi$ を満たすのは $k=0,1,2,3$ のときで
$$\theta =\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6},\frac{5\pi }{3}$$
となる。

実部が正であるのは $\cos \theta >0$ のときで、これを満たすのは $\theta =\frac{\pi }{6}$ と $\theta =\frac{5\pi }{3}$ である。それぞれの解は
$$z_1=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}+i,$$
$$z_2=2\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right)=1-\sqrt{3}i$$
である。

この 2 つの積を計算すると
$$z_1{z}_2=(\sqrt{3}+i)(1-\sqrt{3}i)=\sqrt{3}-3i+i-\sqrt{3}{i}^2=\sqrt{3}-2i+\sqrt{3}=2\sqrt{3}-2i$$
となる。

(確認) 極形式で計算すると、絶対値は $2\cdot 2=4$、偏角は $\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{3}=\frac{11\pi }{6}$ である。よって
$$z_1{z}_2=4\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)=4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=2\sqrt{3}-2i$$
となり、上の結果と一致する。

したがって、求める積は $2\sqrt{3}-2i$ である。

$-8+8\sqrt{3}i=16\left(\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }\right)$ である。したがって解は $z=2\left(\cos (30^{\circ }+90^{\circ }k)+i\sin (30^{\circ }+90^{\circ }k)\right)$ $(k=0,1,2,3)$ で、偏角は $30^{\circ },120^{\circ },210^{\circ },300^{\circ }$ となる。
実部が正のものは偏角 $30^{\circ }$ と $300^{\circ }$ の2つで、$z_1=\sqrt{3}+i$、$z_2=1-\sqrt{3}i$ である。
積は $(\sqrt{3}+i)(1-\sqrt{3}i)=\sqrt{3}-3i+i+\sqrt{3}=2\sqrt{3}-2i$ となる。
検算：極形式では $4(\cos 330^{\circ }+i\sin 330^{\circ })=4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)=2\sqrt{3}-2i$ で一致する。