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複素数平面の問題

難易度 3共通テストレベル数学C 複素数平面

$i$ を虚数単位とする。複素数 $z$ についての方程式
$z^{3} = - 42 + 42 i$
の解のうち、複素数平面上で第 $1$ 象限（実部と虚部がともに正である部分）にあるものを求めよ。

この問題で使うもの

極形式と積・商（説明と入口の問題）
ド・モアブルの定理（説明と入口の問題）
方程式 $z^{n} = a$ の解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（31 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

右辺を極形式で表し、解を $z = r (cos θ + i sin θ)$ とおいてド・モアブルの定理を使おう。

ヒント 2

右辺の絶対値は $8$ 、偏角は $\frac{3}{4} π$ である。 $r^{3} = 8$ , $3 θ = \frac{3}{4} π + 2 k π$ を解く。

ヒント 3

$r = 2$ , $θ = \frac{π}{4} + \frac{2 k π}{3}$ $(k = 0, 1, 2)$ の $3$ つの偏角のうち、 $0 < θ < \frac{π}{2}$ を満たすものを選ぶ。

答えと解説

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2 + 2 i

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解説を読む

右辺を極形式で表す。 $∣ - 42 + 42 i ∣ = 32 + 32 = 8$ であり
$- 42 + 42 i = 8 (cos \frac{3}{4} π + i sin \frac{3}{4} π)$
解を $z = r (cos θ + i sin θ)$ $(r > 0, 0 ≦ θ < 2 π)$ とおくと、ド・モアブルの定理より
$z^{3} = r^{3} (cos 3 θ + i sin 3 θ)$
両辺を比較して $r^{3} = 8$ , $3 θ = \frac{3}{4} π + 2 k π$ （ $k$ は整数）。
よって $r = 2$ , $θ = \frac{π}{4} + \frac{2 k π}{3}$ であり、 $0 ≦ θ < 2 π$ より $k = 0, 1, 2$ として
$θ = \frac{π}{4}, \frac{11}{12} π, \frac{19}{12} π$
$\frac{11}{12} π$ は $\frac{π}{2}$ と $π$ の間なので第 $2$ 象限、 $\frac{19}{12} π$ は $\frac{3}{2} π$ と $2 π$ の間なので第 $4$ 象限にある。第 $1$ 象限にあるのは $θ = \frac{π}{4}$ の解だけで
$z = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4}) = 2 + 2 i$
（確認: $(2 + 2 i)^{2} = 2 + 4 i - 2 = 4 i$ , $4 i (2 + 2 i) = - 42 + 42 i$ で成り立つ。）

別解

右辺は絶対値 $32 + 32 = 8$ 、偏角 $\frac{3 π}{4}$ なので $- 42 + 42 i = 8 (cos \frac{3 π}{4} + i sin \frac{3 π}{4})$ 。 $z = r (cos θ + i sin θ)$ とおくと $r^{3} = 8$ 、 $3 θ = \frac{3 π}{4} + 2 k π$ より $r = 2$ 、 $θ = \frac{π}{4} + \frac{2 k π}{3}$ ( $k = 0, 1, 2$ )。 $θ = \frac{π}{4}, \frac{11 π}{12}, \frac{19 π}{12}$ 。第1象限にあるのは $θ = \frac{π}{4}$ のみで、 $z = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4}) = 2 + 2 i$ 。検算： $(2 + 2 i)^{2} = 4 i$ 、 $4 i (2 + 2 i) = - 42 + 42 i$ で一致。

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