複素数平面の問題

まず $\alpha$ の絶対値を求める。
$$(\sqrt{6}+\sqrt{2}{)}^2=6+2\sqrt{12}+2=8+4\sqrt{3}$$
$$(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2=6-2\sqrt{12}+2=8-4\sqrt{3}$$
より
$$|\alpha {|}^2=(8+4\sqrt{3})+(8-4\sqrt{3})=16,|\alpha |=4$$
である。よって
$$\alpha =4\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i\right)$$
と書ける。

次に偏角を求める。加法定理より
$$\cos \frac{\pi }{12}=\cos \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$
$$\sin \frac{\pi }{12}=\sin \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$
であるから、$\alpha$ の極形式は
$$\alpha =4\left(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}\right)$$
である。

積の極形式（絶対値は掛け、偏角は足す）を繰り返し用いると
$${\alpha }^6=4^6\left(\cos \frac{6\pi }{12}+i\sin \frac{6\pi }{12}\right)=4096\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=4096(0+i)=4096i$$

したがって、${\alpha }^6=4096i$ である。

$|\alpha {|}^2=(\sqrt{6}+\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2=(8+4\sqrt{3})+(8-4\sqrt{3})=16$ より $|\alpha |=4$。$\cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ なので $\alpha =4(\cos 15^{\circ }+i\sin 15^{\circ })$。ド・モアブルの定理より ${\alpha }^6=4^6(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })=4096i$。検算: ${\alpha }^2=16(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ })=8\sqrt{3}+8i$、${\alpha }^6=({\alpha }^2{)}^3=512(\sqrt{3}+i{)}^3=512\cdot 8i/1$ ではなく $(\sqrt{3}+i{)}^3=2^3(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })=8i$ なので $8^3\cdot 8i=4096i$。