複素数平面の問題

手順1：半角の公式で $\alpha$ を極形式にする

$\theta =\frac{\pi }{6}$ とおく。半角の公式（2倍角の公式）
$$1+\cos \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2},\sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$$
を使うと、
$$\alpha =2{\cos }^2\frac{\theta }{2}+2i\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}=2\cos \frac{\theta }{2}\left(\cos \frac{\theta }{2}+i\sin \frac{\theta }{2}\right)$$
となる。$\frac{\theta }{2}=\frac{\pi }{12}$ であるから、
$$\alpha =2\cos \frac{\pi }{12}\left(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}\right)$$

手順2：$\cos \frac{\theta }{2}$ の符号を確認する

$0<\frac{\pi }{12}<\frac{\pi }{2}$ より $\cos \frac{\pi }{12}>0$ である。よって、これはそのまま極形式になっていて、
$$|\alpha |=2\cos \frac{\pi }{12},\arg \alpha =\frac{\pi }{12}$$

手順3：ド・モアブルの定理を使う

$${\alpha }^6={\left(2\cos \frac{\pi }{12}\right)}^6\left(\cos \frac{6\pi }{12}+i\sin \frac{6\pi }{12}\right)={\left(2\cos \frac{\pi }{12}\right)}^6\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)={\left(2\cos \frac{\pi }{12}\right)}^{6}i$$

手順4：絶対値の部分を計算する

再び $2{\cos }^2\frac{\theta }{2}=1+\cos \theta$ を使うと、
$${\left(2\cos \frac{\pi }{12}\right)}^2=4{\cos }^2\frac{\pi }{12}=2\left(1+\cos \frac{\pi }{6}\right)=2\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2+\sqrt{3}$$
したがって
$${\left(2\cos \frac{\pi }{12}\right)}^6=(2+\sqrt{3}{)}^3$$
ここで $(2+\sqrt{3}{)}^2=7+4\sqrt{3}$ より
$$(2+\sqrt{3}{)}^3=(7+4\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=14+7\sqrt{3}+8\sqrt{3}+12=26+15\sqrt{3}$$

以上より
$${\alpha }^6=(26+15\sqrt{3})i$$

$e^{i\theta }$ の記法を使わず、半角の公式で極形式にする。

$\alpha =1+\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}$ に対し、$1+\cos \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2}$、$\sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$ を $\theta =\frac{\pi }{6}$ で用いると
$$\alpha =2\cos \frac{\pi }{12}\left(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}\right)$$
となる。$\cos \frac{\pi }{12}>0$ なので、これは絶対値 $2\cos \frac{\pi }{12}$、偏角 $\frac{\pi }{12}$ の極形式である。

ド・モアブルの定理より
$${\alpha }^6=64{\cos }^6\frac{\pi }{12}\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=64{\cos }^6\frac{\pi }{12}\cdot i.$$

半角の公式より ${\cos }^2\frac{\pi }{12}=\frac{1+\cos \frac{\pi }{6}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$。よって
$$64{\cos }^6\frac{\pi }{12}=64\cdot \frac{(2+\sqrt{3}{)}^3}{64}=(2+\sqrt{3}{)}^3.$$

$(2+\sqrt{3}{)}^2=7+4\sqrt{3}$、$(7+4\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=14+7\sqrt{3}+8\sqrt{3}+12=26+15\sqrt{3}$。

したがって ${\alpha }^6=(26+15\sqrt{3})i$。

検算: $\alpha \approx 1.866+0.5i$ なので $|\alpha {|}^2\approx 3.482+0.25=3.732$ 。$|\alpha {|}^6\approx 3.732^3\approx 51.98$ 。これは $26+15\sqrt{3}\approx 51.98$ と一致する。偏角は $\arctan (0.5/1.866)=15^{\circ }$ で、6 倍すると $90^{\circ }$ になり、純虚数である。